Математический бой № 3, 7 класс, решения (стр. 1 )

Математический бой № 3, 7 класс, решения

1.  Малышу и Карлсону дали по одинаковому пирогу. Карлсон начал есть свой пирог на минуту позже Малыша, а через две минуты после этого оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько еще осталось съесть Малышу. Докажите, что если бы Малыш и Карлсон ели один пирог вдвоем, то они управились бы с ним меньше, чем за три минуты.

Через три минуты после того, как Малыш начал есть свой пирог, у него осталась такая же часть пирога, которую съел Карлсон от своего пирога. Значит, за три минуты из двух съеденных частей можно было бы сложить один пирог. Следовательно, если бы они ели один пирог вдвоем, то он бы уже закончился. Помимо двух минут, что Малыш и Карлсон ели пирог, нужно учитывать, что Карлсон начал есть свой пирог на минуту позже Малыша. Поэтому они управились бы с ним меньше, чем за три минуты.

2.  Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом?

Ответ: да. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то градусные меры всех углов треугольника не могут выражаться нечётными числами. Следовательно, градусная мера одного из углов равна 2°. Остается подобрать два простых числа, сумма которых равна 178. Вот все возможные примеры: 5 + 173, 11 + 167, 29 + 149, 41 + 137, 47 + 131, 71 + 107, 89 + 89.

3.  Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5?

Ответ: 100. Пятизначное зеркальное число, делящееся на 5, имеет вид . Пятизначность зеркального числа не позволяет ему оканчиваться на 0. В свою очередь цифры a и b могут быть любыми – 102 вариантов.

4.  В слове «КОМПЬЮТЕР» зашифровано некоторое число, причем разным буквам соответствуют разные цифры. Найдите значение дроби (не забудьте обосновать ответ).

Ответ: 1. Ни одна из цифр в слове не может быть нулём (на нуль делить нельзя). В этом слове 9 букв и все они разные, значит, в нем присутствуют все цифры 1, 2, 3, …, 9. Поскольку произведение чисел 1, 2, 3, …, 9 равно 362880, получаем 1.

5.  Дан прямоугольный треугольник ABC – с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Ответ: 135°. Обозначим α и β величины углов A и B треугольника ABC. Ясно, что α + β = 90°. Треугольник KAC равнобедренный, сумма углов при основании KC равна внешнему углу A. Значит, ÐACK = α/2. Точно также можно заметить, что ÐBCM = β /2. Таким образом, ÐKCM = α/2 + 90° + β /2 =135°.

6.  Дан треугольник ABC. Известно, что ÐACB = 76°, ÐABC = 33°. Точка D – пересечение биссектрисы угла C и серединного перпендикуляра к AC. Докажите, что 2CD < BC.

Точка D, как точка серединного перпендикуляра к AC, равноудалена от A и B, то есть треугольник ADC равнобедренный и

ÐDAC = ÐDCA = 76° : 2 = 38°. Далее, из условия ÐBAC = 180° – (76°+33°) = 71°, значит, ÐBAE = 71° –38° = 33° и треугольник AEB равнобедренный. В треугольнике DCE ÐCDE = 38° + 38° = 76°, как внешний угол треугольника ACD, ÐDEC = 180° – (76°+38°) = 66° < 76° = ÐCDE, значит, EC > DC. Из доказанного вытекают неравенства: 2CD = AD + DC < AE +EC =BE + EC = BC.

7.  На скамейке сидят 10 детей. Может ли случиться, что между каждыми двумя мальчиками сидит чётное число детей, а между каждыми двумя девочками – нечётное число детей?

Ответ: Не может. Решение. Пронумеруем сидящих на скамейке детей слева направо. Пусть под номером 1 – девочка. Тогда на всех местах с чётными номерами сидят мальчики (ведь между первой девочкой и любым ребёнком под чётным номером – чётное число детей). Но между любыми двумя такими мальчиками – нечётное число детей, что противоречит условию. Значит, под номером 1 – мальчик. Тогда на местах 3, 5, 7, 9 – девочки. Две девочки не могут сидеть рядом (иначе между ними 0 детей – чётное число), поэтому на местах 2, 4, 6, 8 – мальчики. Но между любыми двумя из этих четырёх мальчиков – нечётное число детей. Противоречие.

8.  Петя записал 25 чисел в клетки квадрата 5 × 5. Известно, что их сумма равна 500. Вася может попросить его назвать сумму чисел в любой клетке и всех ее соседях по стороне. Может ли Вася за несколько таких вопросов узнать, какое число записано в центральной клетке?

Ответ: да. Задав вопросы про 6 клеток, отмеченных на рисунке слева, Вася может узнать сумму всех чисел, кроме A и B. Вычитая ее из 500, он найдет A + B. Аналогичным образом он может найти C + D. После этого Васе остается узнать сумму чисел в центральном кресте и вычесть из нее (A + B) + (C + D).

7-8 Решения день 3

1.  Найдите какие-нибудь натуральные числа a, b, c, удовлетворяющие уравнению .

Ответ: a = 1, b = 4, c = 7. (В году 365 дней, в феврале 28 дней, январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь по 31 дню, в остальных по 30)

2.  Андрей, Боря, Вася, Гриша и Дима имеют фамилии Андреев, Борисов, Васильев, Григорьев и Дмитриев. Известно, что Андрей старше Андреева на 1 год, Боря старше Борисова на 2 года, Вася старше Васильева на 3 года и Гриша старше Григорьева на 4 года. Кто старше – Дима или Дмитриев и на сколько?

Ответ: Дима младше Дмитриева на 10 лет.

Пусть возраст Димы отличается от возраста Дмитриева на x лет. Сумма возрастов, посчитанная «по именам» и «по фамилиям» одинаковы. Значит, 1 + 2 + 3 + 4 + x = 0, откуда x = –10.

3.  Назовем натуральное число «замечательным», если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько замечательных среди чисел от 1 до 2016?

Ответ: 28. Для каждой суммы цифр «замечательное» число одно. Значит, среди чисел от 1 до 2016 замечательных чисел столько, сколько можно составить различных сумм цифр. Минимальная сумма цифр – 1, максимальная – равна 1 + 9 + 9 + 9 = 28 всего 28.

4.  Все клетки таблицы 8 × 8 последовательно пронумерованы от 1 до 64 (в каждом ряду клетки нумеруются слева направо, в первом ряду – от 1 до 8, во втором — от 9 до 16 и т. д.). В таблице отметили восемь клеток так, что никакие две не находились в одном столбце или на одной строке. Найдите все значения, которые может принимать сумма номеров отмеченных клеток.

Ответ: 260. Указание: Выберем произвольные две отмеченные клетки. Пусть первая – в клетке (i, j) (i-й столбец, j-я строка), а вторая – в клетке (p, q). Переставим эти ладьи в клетки (i, q) и (p, j). От этого клетки по-прежнему не находятся в одной строке или в одном столбце, и сумма чисел не изменилась. Действуя таким образом, можно переставить все клетки так, что они будут идти вдоль диагонали, а значит сумма чисел в клетках будет равна 1+10+19+28+37+46+55+64 = 260.

5.  В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, I — точка их пересечения. Известно, что AI = BC и ÐACB = 2ÐBAC. Найдите углы треугольника.

Ответ: ÐA = 40°, ÐB = 60°, ÐC = 80°.

Пусть ÐA = α, тогда ÐC = 2α. Из условия следует, что треугольник AC1C – равнобедренный. Проведём в нем биссектрису CD, ÐDCA = α/2. В равнобедренном треугольнике биссектрисы равных углов – равны. Значит, CD = AI = CB и треугольник DCB равнобедренный. При этом ÐB = ÐD = ÐDCA +ÐCAD = 3α/2. Таким образом, сумма углов треугольника ABC есть α + 3α/2 + 2α = 180°. Откуда следует ответ.

6.  В выпуклом четырехугольнике ABCD ÐACD = 2ÐBAC и AC = CD. Докажите, что 2BC ³ AD.

Треугольник ACD равнобедренный по условию, высота CE будет являться биссектрисой угла C. Из равенства углов BAC и ACE, следует параллельность отрезков AB и CE. Из точки B опустим перпендикуляр BP на прямую CE (на самом деле точка P не обязана лежать на отрезке CE). Четырехугольник ABPE – прямоугольник. Если точки P и C совпали, то 2BC = 2BP = 2AE =AD. Иначе – треугольник BPC прямоугольный и 2BC > 2BP = AD.

7.  С натуральным числом разрешается делать следующие операции:

(а) приписать справа цифру 4;