Тема 5: Закон за разпределение на молекулите на газ по скорости. Най-вероятна, средна и средна квадратична скорост. Закон за разпределение на молекулите по кинетични енергии. Опитни доказателства за разпределението на молекулите по скорости (стр. 2 )

В получената функция на разпределение интензитетът на гравитационното поле не участва, защото разпределението по скорости не зависи от външното поле, а се установява в резултат на хаотичното движение и ударите между молекулите.

Множителят А се определя от условието за нормировка на вероятността

Това условие изразява факта, че всяка молекула със сигурност има някаква х-компонента на скоростта в интервала . Следователно

Интегралът в този израз се свежда до интеграла на Поасон с помощта на смяна на променливата с безразмерната променлива

Тогава

- интеграл на Поасон

Функцията на разпределение на молекулите по една компонента на скоростта има вида:

(5.6)

При

При

Фиг. 5.2

Графиката на функцията е представена на фиг. 5.2. Числената стойност на множителя А е равна на частта от молекулите в единица обем с х-компонента на скоростта в интервал с големина единица в близост до . С повишаване на температурата частта на тези молекули намалява.

Разпределение на молекулите на газ по трите компоненти на скоростта. Закон на Максуел за разпределение на молекулите по големината на скоростта

Полученият израз за функцията на разпределение на молекулите по х-компонентата на скоростта (5.6) представлява първи етап при извеждането на разпределението на Максуел по големината на скоростта. Аналогични изрази описват разпределението и по другите две компоненти на скоростта:

,

Вторият етап при извеждането на разпределението на Максуел е намирането на разпределението на молекулите по трите компоненти на скоростта. Това означава да намерим вероятността скоростта на молекулите да удовлетворява едновременно трите условия:

х-компонентата да бъде в интервала ;

(5.7) y-компонентата да бъде в интервала ;

z-компонентата да бъде в интервала ,

т. е. да бъде зададена не само по големина, но и по посока. Поради пълната хаотичност на движенията на молекулите горните три условия са независими и търсената вероятност представлява вероятност за сложно събитие. Тя е равна на произведението за вероятностите на всяко едно от събитията по отделно:

,

; ;

Като вземем предвид, че и , получаваме разпределението на молекулите по трите компоненти на скоростта

(5.8)

Фиг. 5.3

На това разпределение може да се даде нагледно геометрично тълкуване в абстрактното „пространство на скоростите”. В това „пространство” молекулите в единица обем на газа, скоростите на които едновременно удовлетворяват условията (5.7) „запълват” паралелепипед с обем , намиращ се на разстояние от началото О на правоъгълната координатна система с оси , и (фиг. 5.3). Като имаме предвид това тълкуване, от разпределението (5.8) определяме броя молекули в единичен обем на пространството на скоростите, т. е. плътността на молекулите в това пространство:

,

което не зависи от посоката на скоростта.

Сега вече можем да намерим разпределението на молекулите по големината на скоростта независимо от посоката:

Фиг. 5.4

Всички молекули (в единица обем от газа) с дадена големина на скоростта (независимо от посоката) се изобразяват в пространството на скоростите с една сферична повърхнина с радиус, равен на . А молекулите, чиято големина на скоростта е в интервала , „запълват” сферичен слой с радиус , дебелина и обем (фиг. 5.4). Тогава

(5.9)

Този резултат представлява законът на Максуел за разпределение на молекулите на газ по големината на скоростта.

Функцията на разпределение на Максуел има вида:

(5.10)

Тя определя частта от молекулите в единица обем на газа, скоростите на които се намират в интервал единица около дадена стойност.

Фиг. 5.5

Графично функцията на разпределение на Максуел е представена на фиг. 5.5.

Веднага се вижда, че при

,

,

т. е. няма неподвижни молекули както и молекули с много големи скорости. Функцията на разпределение има максимум при някаква стойност . Това означава, че най-голяма част от всички молекули на газа се движат със скорости, стойностите на които са близки до . Може също така да се каже, че вероятността молекулите на газа да се движат със скорости, близки до , е най-голяма. Затова скоростта , която съответства на максимума на кривата на разпределение на Максуел, се нарича най-вероятна скорост.

Използвайки кривата на разпределение на молекулите по скорости, може графично да се определи частта от молекулите в единица обем на газа, скоростите на които лежат в даден интервал . Тя е равна на площта на защрихованата област на графиката на фиг. 5.5 с основа и височина . Цялата площ, ограничена от кривата на разпределение и оста на скоростите, дава общия брой молекули в единица обем.