Тема 5: Закон за разпределение на молекулите на газ по скорости. Най-вероятна, средна и средна квадратична скорост. Закон за разпределение на молекулите по кинетични енергии. Опитни доказателства за разпределението на молекулите по скорости (стр. 1 )

Тема 5: Закон за разпределение на молекулите на газ по скорости. Най-вероятна, средна и средна квадратична скорост. Закон за разпределение на молекулите по кинетични енергии. Опитни доказателства за разпределението на молекулите по скорости

1.  Понятие за разпределение. Функция на разпределение.

В основното уравнение на молекулно-кинетичната теория на идеалните газове участва средната кинетична енергия на частиците, която се определя от средната им квадратична скорост. Това е тази скорост, която би трябвало да имат всички молекули, така че да се получи действителната стойност на налягането на газа. Скоростите на молекулите обаче не са еднакви. Въпреки че системата е в равновесно състояние, поради топлинното движение молекулите непрекъснато се удрят по между си. В резултат на това в газа има молекули с най-различни скорости – от много малки до много големи.

Както показват теорията и опита, в равновесно състояние разпределението на молекули по скорости се оказва напълно определено. То не се влияе от ударите между молекулите, нито от външното поле. Оказва се еднозначно и единствено възможно.

Да се намери разпределението на молекулите по скорости не означава, че трябва да намерим броя на молекулите, които имат една или друга точно определена стойност на скоростта, защото такава задача няма смисъл. Физичен смисъл има следната постановка на въпроса: да се определи колко молекули (или каква част от тях) имат стойност на скоростта, която принадлежи на някакъв интервал в близост до дадена скорост. Именно по този начин винаги се поставят статистическите задачи.

Изучавайки разпределението на частиците по скорости, ще търсим броя частици, скоростта на които (или компонентите на скоростта) се намират в определен интервал от скорости (или компоненти на скоростта).

Да означим с броя на частиците в единица обем, скоростите на които принадлежат на интервала от до . Максуел прави следните предположения за броя :

Ø  е пропорционален на броя на частиците в единица обем - ;

Ø  е пропорционален на дължината на интервала - ;

Ø  трябва да зависи от големината на скоростта - .

Въз основа на тези предположения броят се записва във вида:

(5.1) или

(5.2)

Величината представлява частта от молекулите в единица обем на газа, скоростите на които са в интервала от до . Функцията се нарича функция на разпределение на молекулите по скорости. Физическият смисъл на функцията на разпределение се вижда от равенство (5.2) при .

Стойността на функцията на разпределение е равна на частта от молекулите в единица обем, които имат скорости в интервал с големина единица в близост до скоростта .

Величината , както и функцията на разпределение имат смисъл на вероятности.

Величината е равна на вероятността коя да е от молекулите, намиращи се в единица обем, да има скорост в интервала от до . Аналогично стойността на е равна на вероятността коя да е от молекулите, намиращи се в единица обем, да има скорост в интервал с големина единица в близост до скоростта . Затова тя се нарича плътност на вероятността.

Закон за разпределение молекулите на газ по едната компонента на скоростта

Първо ще разгледаме разпределението на молекулите по една от компонентите на скоростта, например . Аналогично на (5.1) и (5.2) можем да запишем:

или

За да намерим вида на функцията на разпределение в този случай, разглеждаме идеален газ в състояние на термодинамично равновесие, поставен в хомогенното поле на силата на тежестта. Отделяме стълб от газа с единично сечение (фиг. 5.1).

Фиг. 5.1

Броят на молекулите с вертикална компонента на скоростта в интервала , който се намира в елементарен слой от този стълб с дебелина на височина , е равен на

(5.3) ,

където е концентрацията на молекулите на височина . Поради ударите между молекулите в този слой ще влизат молекули, както и ще излизат от него, но тъй като газът е в равновесно състояние, броят остава приблизително постоянен. С течение на времето този брой молекули ще се окажат на друга височина и ще имат х-компонента на скоростта в интервала . Броят им сега може да се изрази като

(5.4) ,

където е концентрацията на молекулите на височина .

При движение на молекулите в гравитационно поле хоризонталните компоненти на скоростта не се променят, а изменението на вертикалната компонента се определя от закона за запазване на енергията:

От тук с диференциране получаваме

, откъдето

От сравняването на (5.3) и (5.4) се получава

Съгласно разпределението на Болцман

Следователно

Последната зависимост означава, че търсената функция на разпределение трябва да се умножи с , когато се замени с съгласно закона:

.

Единствената функция с такова свойство е експоненциална функция от вида:

(5.5) ,

където множителят А не зависи от .