Программа по дисциплине: Статистическая физика (стр. 3 )

23. Флуктуационная теория фазовых переходов:

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.  Якобианы:

2.  Формула Стирлинга:

3.  Формула суммирования Эйлера-Маклорена для медленно
меняющихся функций:

.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

1.  Уровни энергии осциллятора:

2.  Расщепление уровней энергии в магнитном поле

(эффект Зеемана):

где - магнетон Бора, - проекция полного момента J на ось , - фактор Ланде (гиромагнитный фактор).

3.  Уровни энергии орбитального движения в однородном магнитном поле (уровни Ландау):

где e - заряд, m - масса частицы, pz - импульс движения вдоль оси z.

4.  Вторичное квантование бозе-частиц со спином 0

Ненулевые матричные элементы:

Перестановочные соотношения:

Оператор числа частиц в p-состояниях:

5.  Вторичное квантование фермионов со спином 1/2

Ненулевые матричные элементы:

Здесь σ ± 1, где t - номер состояния (σ, p) (t – 1) – номер состояния, предыдущего по счету.

Перестановочные соотношения:

Операторы квантованного поля (нерелятивистское приближение):

Перестановочные соотношения:

6.  Взаимодействие электронов во вторичном квантовании

Оператор числа частиц:

Гамильтониан невзаимодействующих электронов:

Нерелятивистское взаимодействие с внешним полем :

Нерелятивистское электрон-электронное взаимодействие:

7.  W-потенциал:

8.  Температурная S-матрица:

где – оператор взаимодействия в представлении Мацубары.

ЗАДАНИЕ 1

УПРАЖНЕНИЯ

1.  ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

1.1.  Исходя из соотношений коммутации для фермиевских операторов рождения и уничтожения доказать, что собственные значения оператора числа частиц равны 0 и 1.

1.2.  Найти собственные функции и собственные значения операторов рождения и уничтожения.

1.3.  *Доказать, что для бозевских операторов рождения и уничтожения имеет место тождество

1.4.  Доказать, что для фермиевских операторов рождения и уничтожения имеет место тождество

1.5.  Вычислить среднее от произведения четырех ферми-операторов где обозначают усреднение по состоянию невзаимодействующих частиц с заданной температурой и химическим потенциалом.

1.6.  СПереходя к представлению Мацубары: при определить средние числа заполнения идеального ферми-газа и идеального бозе-газа

Указание:

2.  ТЕРМОДИНАМИКА, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

СТАТИСТИЧЕСКИХ АНСАМБЛЕЙ, НИЗКОРАЗМЕРНЫЕ

СИСТЕМЫ

2.1.  СОпределить в переменных

а) V, Т; б) p, Т.

Определить для больцмановского газа, газа Ван-дер-Ваальса, ферми - и бозе-газа и черного излучения.

2.2.  Показать, что

2.3.  Теплоемкость обычно определяют при V = const либо при
p = const, что отвечает чаще всего встречающимся условиям эксперимента. Но бывает необходимость определить теплоемкость при других условиях. Так, при расширении газа в пустоту сохраняющейся величиной будет энергия. В таком процессе теплоемкость должна рассчитываться при E = const.

A. Доказать, что

B. Вычислить изменение температуры при расширении в пустоту. Объяснить знак эффекта для вырожденных бозе - и ферми-газов.

C.  Объяснить ответ для классического идеального газа/

2.4.  Определить в переменных

а) m, V, Т; б) N, V, Т.

Определить для больцмановского газа, ферми - и бозе-газа.

2.5.  Для термодинамического потенциала справедливо утверждение Ф = μN (μ - химический потенциал, N - число частиц). Для идеального бозе-газа в области бозе-конденсации
μ = 0. следовательно, Ф = 0. Используя формулу, мы получаем S = 0 во всей области бозе-конденсации.

A. В чем ошибочность приведенного рассуждения?