Теория вероятностей и математическая статистика

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждаю Декан факультета менеджмента ______________ «____» _____________ 2015г. Регистрационный № УД-_______ р.

Теория вероятностей и математическая статистика

Учебная программа для специальности

1-31 03 06 Экономическая кибернетика (по направлениям)

Факультет менеджмента Кафедра высшей математики
Курс 2 Семестр 4 Лекции 50 часов Практические занятия 40 часов Лабораторные занятия 8 часов Всего аудиторных часов по дисциплине 98 Всего часов по дисциплине 240	Экзамен 4 семестр Зачет 4 семестр Форма получения высшего образования дневная

Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» от 01.01.2001 г. Регистрационный /баз.

Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры высшей математики (Протокол №7 от 6.03.2015 г.)

Заведующий кафедрой

доктор физ.-мат. наук _________

Одобрена и рекомендована к утверждению Советом факультета менеджмента

«____»___________ Протокол №

Председатель ________

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Актуальность изучения учебной дисциплины в вузе и её роль в профессиональной подготовке выпускника вуза. Стремительное развитие и внедрение новых технологий, их конкуренция на мировом рынке, прогресс средств вычислительной техники, а также научно-технический прогресс в целом предъявляют повышенные требования к качеству подготовки специалистов и, в частности, к их математическому образованию. Современный специалист обязан владеть основами математического моделирования и его реализации в компьютерных информационных технологиях, чтобы быть конкурентоспособным и выдерживать темпы научно-технического прогресса. Математические методы выступают в этой связи как возможность дать унифицированный научный подход к изучению различных физических и социальных явлений реального мира путем составления их математических моделей, которые во многих случаях описываются одними и теми же математическими структурами. Таким образом, математическое моделирование позволяет не только изучить общие закономерности различных производственных задач, но и дать универсальные рекомендации по их решению.

Цели и задачи учебной дисциплины. Изучение высшей математики в высшем учебном заведении имеет целью воспитание современного экономиста, гармонически сочетающего в себе профессиональное мастерство, широкую эрудицию и компетентность, математическую культуру, творческую реализацию по выявлению и математическому описанию сущностных оснований и связей между разнообразными процессами окружающего мира, интеллектуальное развитие и формирование общей культуры личности в целом.

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» знако­мит студентов с основными методами построения и анализа математических моделей случайных явлений.

Задача преподавания дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» состоит в выяснении сущности научного подхода к описанию и исследованию реальных производственных и социальных процессов, роли математических методов в системе естественнонаучных дисциплин как способе познания окружающей действительности, в развитии у обучаемых способности к логическому и алгоритмическому мышлению, умений, знаний и приемов исследования и решения математически формализованных задач.

Основой для изучения дисциплины «Теория вероятностей и математиче­ская статистика» являются курсы «Математический анализ», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Методы, излагаемые в курсе теории вероятностей и математической статистики, используются в общих курсах «Исследование операций», «Математическая теория финансовых рисков», «Имитационное и статистическое моделирование», «Эконометрика» а также в ряде дисциплин специализаций.

Выпускник специальности экономическая кибернетика должен

иметь представление:

·  о месте математики в системе естественных наук;

·  о математике как особом способе познания мира;

·  о содержании таких разделов, как теория вероятностей, математическая статистика в пределах соответствующей программы;

знать:

·  основы теории вероятностей, математической статистики, корреляционно-регрессионного анализа, дисперсионного анализа;

·  основные методы решения математических задач, возникающих в сфере профессиональной деятельности

уметь:

·  использовать математические модели и методы при решении экономических задач;

·  решать типовые задачи теории вероятностей, математической статистики, корреляционно-регрессионного анализа, дисперсионного анализа из области профессиональной деятельности.

Материал для самостоятельной работы реализуется через УСР – управляемую самостоятельную работу студентов под контролем преподавателя.

В соответствии с типовыми учебными планами специальности 1-31 03 06 «Экономическая кибернетика (по направлениям)» учебная программа предусмат­ривает для изучения дисциплины 240 учебных часов, в том числе 98 аудиторных часа: лекции - 50 часа, практические занятия - 38 часов, лабораторные занятия – 10 часов. В течение семестра предусматривается проведение трех двухчасовых контрольных работ. Рекомендуемые формы контроля – зачет, экзамен.

СОДЕРЖАНИЕ учебного материала

Тема 1. Теория вероятностей

Вероятность случайных событий

Предмет и метод теории вероятностей. Случайные события и их классификация. Операции над событиями и их свойства. Понятие вероятности в классической модели. Свойства вероятности. Элементы комбинаторики. Частость и статистическая вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса и ее экономическая интерпретация. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Случайные величины

Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Дискретная случайная величина. Ряд распределения и его свойства. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. Числовые характеристики случайной величины.

Основные законы распределения случайных величин

Биноминальный закон распределения и его числовые характеристики. Закон распределения Пуассона и его числовые характеристики. Геометрическое и гипергеометрическое распределения. Законы распределения непрерывных случайных величин (НСВ): равномерный, показательный, нормальный.

Многомерные случайные величины

Понятие многомерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент и его свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Нормальное двумерное распределение.

Закон больших чисел и предельные теоремы

Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Сходимость по вероятности. Теорема Бернулли. Понятие о теореме Ляпунова. Нормальное распределение как предельное для биноминального и пуассоновского распределений. Значение закона больших чисел для практики.

Тема 2. Элементы математической статистики

Введение в математическую статистику

Основные понятия математической статистики. Предмет и задачи ма­тематической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационные ряды. Выборочные аналоги функций распределения. Полигон и гистограмма. Статистиче­ские характеристики вариационных рядов. Среднее арифметическое и его свойства. Выборочная дисперсия и ее свойства. Выборочные начальные и центральные моменты.

Статистическое оценивание

Понятие о точечной оценке числовой характеристики случайной величины, свой­ства точечной оценки. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Частость как точечная оценка вероятности события. Методы получения точечных оценок. Параметрическое оценивание закона распределения. Интервальная оценка числовой характеристики случайной величины. Интервальные оценки параметров нормального распределения. Интервальная оценка вероятности события.

Проверка статистических гипотез

Понятие статистической гипотезы. Основные этапы проверки гипотезы. Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей. Проверка гипотезы о модели закона распределения. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.

Тема 3. Корреляционно-регрессионный анализ

Функциональная, стохастическая и корреляционная зависимости. Функция регрессии. Генеральное и выборочное корреляционные отношения как измерители степени корреляционной и стохастической зависимости. Линейная функция регрессии. Коэффициент корреляции. Погрешность выборочного линейного уравнения регрессии. Проверка гипотезы о линейности функции регрессии. Примеры нелинейной функции регрессии. Множественная регрессия. Ранговая корреляция. Выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла, проверка их значимости.

Тема 4. Основы дисперсионного анализа

Задача дисперсионного анализа и предварительная обработка результатов наблюдений. Условия проведения дисперсионного анализа. Критерий Бартлетта. Модель однофакторного дисперсионного анализа. Двухфакторный дисперсионный анализ с одним наблюдением. Модель двухфакторного дисперсионного анализа.

Тема 5. Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания

Основные понятия теории случайных процессов. Числовые характеристики случайного процесса. Основные понятия теории массового обслуживания. Потоки событий. Марковские процессы. Уравнение Колмогорова. Процессы гибели и размножения. Системы массового обслуживания с отказами. Применение марковских цепей в экономике.

Учебно-методическая карта

№ раздела, те­мы занятия	Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов	Количество аудиторных часов	Методические по­собия, средства обучения (оборудование, учебно-наглядные, пособия и др.)	литература	Формы контроля знаний
лекции	Практические занятия	Лабораторные	УРС
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.	Теория вероятностей (100)	20	18		62
1.1	Введение. Предмет и методы теории вероятностей и математической статистики. Перспективы использования теории вероятностей и математической статистики в различных областях народного хозяйства.	2			4	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]
1.2	Вероятность случайных событий. Случайные события и их классификация. Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Относительная частота и статистическое определение вероятности. Свойства вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Асимптотические формулы.	4	8		8	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии. Контрольная работа.
1.3	Случайные величины (СВ). Дискретные и непрерывные СВ. Понятие случайной величины и закона ее распределения. Функция распределения СВ. Дискретная СВ, ее ряд распределения. Не­прерывная СВ, ее функция распределения. Плотность вероятностей непрерывной СВ.	4	2		8	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
1	2	3	4		6	7	8	9
1.4	Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание СВ и его свойства. Дисперсия СВ и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Действия над случай­ными величинами. Мода и медиана, квантили, децили, началь­ные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс. Действия над случайными величинами. Функция случайной величины.	2	2		8	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
1.5	Основные законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных СВ: биноминальный, закон распределения Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределения. Законы распределения непрерывных случайных величин: равномерный, показательный.	2	2		8	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Контрольная работа.
1.6	Нормальный закон распределения. Функция Лапласа и ее свойства. Характеристики нормального закона распределения. Вероятности нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигма и его практическое значение. Моменты нормального распределения. Распределения, связанные с нормальным законом распределения.	2	1		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
1.7	Многомерные случайные величины. Двумерные СВ. Таблица распределения. Функция распреде­ления двумерной случайной величины и ее свойства. Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства.	1	1		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
1.8	Зависимость случайных величин. Зависимые и независимые случайные вели­чины. Корреляционный момент и его свойст­ва. Коэффициент корреляции и его свойства. Нормальное двумерное распределение.	1	1		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
1.10	Закон больших чисел и предельные теоремы. Закон больших чисел. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Сходимость по веро­ятности. Теорема Бернулли.	1	1		4	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.11	Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова. Нормальное распределение как предельное для биноми­нального и пуассоновского распределений. Локальная и интегральная теоремы Лапласа как следствие теоремы Ляпунова. Значение закона больших чисел для практики.	1			4	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]
2.	Элементы математической статистики (58)	12	10	2	34
2.1	Введение в математическую статистику. Предмет и задачи математической статистики. Основные понятия математической статистики. Выборочный метод: основные понятия. Генеральная совокупность и выборка. Вариационные ряды. Выборочные аналоги функций распределения. Полигон и гистограмма.	2	2		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
2.2	Статистические характеристики вариацион­ных рядов. Среднее арифметическое и его свойства. Выборочная дисперсия и ее свойства. Выборочные начальные и центральные моменты. Асимметрия. Эксцесс.	2	2		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt), ПЭВМ	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
2.3	Статистическое оценивание. Точечное оценивание параметров. Понятие о точечной оценке числовой характеристики случайной величины, свойства точечной оценки. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Частость как точечная оценка вероятности события. Методы получения точечных оценок. Параметрическое оценивание закона распределения.	2	2		8	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1, 2, 3]	Контрольная работа
2.4	Интервальное оценивание параметров. Интервальная оценка числовой характеристики случайной величины. Интервальные оценки параметров нормального распределения. Интервальная оценка вероятности события.	2	2		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[1,2,3]	Опрос на практическом занятии.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
2.5	Проверка статистических гипотез. Проверка гипотез. Основные понятия. Понятие статистической гипотезы. Основные этапы проверки гипотезы. Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения, о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений. Примеры проверки статистических гипотез. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений; о числовом значении вероятности события; о равенстве вероятностей. Проверка гипотезы о модели закона распределения. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.	4	2	2	8	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt), ПЭВМ	[1,2,3]
3.	Корреляционно-регрессионный анализ (38)	8	4	4	22
3.1	Корреляционно-регрессионный анализ. Функциональная, стохастическая и корреляционная зависимости. Функция регрессии. Генеральное и выборочное корреляционные отношения как измерители степени корреляционной и стохастиче­ской зависимости.	2	2		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[3]	Опрос на практическом занятии.
3.2	Линейная и нелинейная регрессия. Линейная функция регрессии. Коэффициент корреляции. Погрешность выборочного линейного уравнения регрессии. Проверка гипотезы о линейности функции регрессии. Примеры нелинейной функции регрессии.	4	1	2	8	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt), ПЭВМ	[3]
3.3	Множественная регрессия. Множественная регрессия. Выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла, проверка их значимости	2	1	2	8	Слайды лекции, презентация, ПЭВМ	[3]
4.	Основы дисперсионного анализа (22)	4	2	2	12
4.1	Основы дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ. Задача дисперсионного анализа и предвари­тельная обработка результатов наблюдений. Условия проведения дисперсионного анализа. Критерий Бартлетта. Модель однофакторного дисперсионного анализа.	2	1		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt), ПЭВМ	[3]	Опрос на практическом занятии.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
4.2	Двухфакторный дисперсионный анализ. Двухфакторный дисперсионный анализ с од­ним наблюдением. Модель двухфакторного дисперсионного анализа.	2	1	2	6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[3]	Опрос на практическом занятии.
5.	Элементы теории массового обслуживания (24)	6	4	2	12
5.1	Введение. Основные понятия теории случайных процессов. Числовые характеристики случайного процесса. Потоки событий. Марковские процессы	2	2		6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt)	[3,4]	Опрос на практическом занятии.
5.2	Основные понятия теории массового обслуживания.. Уравнение Колмогорова. Процессы гибели и размножения. Системы массового обслуживания с отказами. Применение марковских цепей в экономике.	4	2	2	6	Слайды лекции, электронный конспект (pdf, djvu), презентация (ppt), ПЭВМ	[3,4]	Опрос на практическом занятии.
Итого:	50	38	10	142			Зачет, экзамен

ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Тематический план курса
№ п/п	Тема	Распределение аудиторных часов Лекции/практ./лабораторные
1.	Теория вероятностей	20/18/0
2.	Элементы математической статистики	12/10/2
3.	Корреляционно-регрессионный анализ	8/4/4
4.	Основы дисперсионного анализа	4/2/2
5.	Элементы теории массового обслуживания	6/4/2

Основная литература

1.  Высшая математика для экономистов: в 3 томах. Т. 2. Теория вероятностей. Методы оптимизации. Учебник. / , Минюк С. А. и др. - Мн.:БГЭУ, 2005.

2.  Гмурман, к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / . – М.: Высшая школа, 2005.

3.  Кремер, вероятностей и математическая статистика: учеб. для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н. Ш. Кремер. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 551с.

4.  Маталыцкий, вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: учеб. пособие / , . – Минск: Выш. шк., 2012. – 720 с.

5.  Письменный, лекций по теории вероятностей и математической статистике / . – М.: Айрис-пресс, 2004.

6.  Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций: Учебное пособие / Под общей ред. . 4-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 448с.

Дополнительная литература

1.  Айвазян, статистика и основы эконометрики / , В. С. Мхитарян. – М.: ЮНИТИ, 1998.

2.  , , Черторицкий по теории вероятностей. - Мн.: БГЭУ, 2004.

3.  Белько, вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи / , . - Минск: Новое знание, 2002 . - 250 с.

4.  Гмурман, вероятностей и математическая статистика / . - М.: Выс. шк., 1979 г.

5.  , Мацкевич к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и матема­тической статистике. - Мн.: Высшая школа, 1979.

6.  Мацкевич, математика: теория вероятностей и математическая статистика: учебник / И. П., . - Минск: Выш. шк.., 1993.-269 с.

7.  Мацкевич, задач и упражнений по высшей математике. Тео­рия вероятностей и математическая статистика / , . - Минск: Выш. шк., 1996. - 318 с.

ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

Название дисциплины, с которой требуется согласование	Название кафедры	Предложения об изменениях в содержании учебной программы по изучаемой учебной дисциплине	Решение, принятое кафед­рой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)
1	2	3	4
1. Экономико-математические методы и модели	Кафедра прикладной математики и экономической кибернетики	Предложений нет	Утверждено. Протокол №

Согласовано:

Выпускающая кафедра

прикладной математики и экономической кибернетики

Заведующий кафедрой