Физическая кинетика (стр. 3 )

x[ Nk1 n(q) - Nk (n(q) + Nk1 )] + p Sk1, q |Vk, k1, q |2 D (k1- k – q) x

d ( w (k1 ) - w (k ) - W (q)) [Nk1 (n(q) + Nk ) - Nk n(q) ] .

Дать физическую интерпретацию членам в квадратных скобках и

написать кинетическое уравнение для числа волн n(q)= <b*q bq >.

4. В среде возбуждаются два типа волн с законами дисперсии w (k) и W (q). Гамильтониан волн с учетом их взаимодействия имеет вид

H = Sk w (k) a*k a k + Sk W (k) b*k b k +

(½) Sk1, k2, q (Vk1, k2, q a*k2 a k1 bq + c. c.) D (k1- k2 - q).

Кинетическое уравнение для числа волн N(k)= < a*k ak > принимает вид

d N(k)/dt = p Sk1, q |Vk, k1, q |2 D (k- k1 – q) d ( w (k ) - w (k1 ) - W (q)) x

x[ Nk1 n(q) - Nk (n(q) + Nk1 )] + p Sk1, q |Vk, k1, q |2 D (k1- k – q) x

d ( w (k1 ) - w (k ) - W (q)) [Nk1 (n(q) + Nk ) - Nk n(q) ] .

Показать, что сохраняется полное число волн N(k)= < a*k ak >.

5. В среде возбуждаются два типа волн с законами дисперсии w (k) и W (q).

Кинетическое уравнение для числа волн n(q) = <b*q bq > принимает вид

d n(q)/dt = p Sk1, k2 |Vk1, k2, q |2 D (k1- k2 – q) d ( w (k1 ) - w (k2 ) - W (q)) x

x [Nk1 (n(q) + Nk2 ) - Nk1 n(q) ].

Найти равновесный тепловой спектр для N0(k) и n0(q).

6. В среде возбуждаются два типа волн с законами дисперсии w (k) и W (q).

Кинетическое уравнение для числа волн n(q) = <b*q bq > принимает вид

d n(q)/dt = p Sk1, k2 |Vk1, k2, q |2 D (k1- k2 – q) d ( w (k1 ) - w (k2 ) - W (q)) x

x [Nk1 (n(q) + Nk2 ) - Nk1 n(q) ],

а для числа волн N(k)= < a*k ak > принимает вид

d N(k)/dt = p Sk1, q |Vk, k1, q |2 D (k- k1 – q) d ( w (k ) - w (k1 ) - W (q)) x

x[ Nk1 n(q) - Nk (n(q) + Nk1 )] + p Sk1, q |Vk, k1, q |2 D (k1- k – q) x

d ( w (k1 ) - w (k ) - W (q)) [Nk1 (n(q) + Nk ) - Nk n(q) ] .

Показать, что сохраняется полная энергия волн

E = Sk w (k ) Nk + Sq W (q ) n(q).

7. Для звуковых волн найти с точностью до числовых множителей

константу трехволнового взаимодействия Vk, k1, k2. Гамильтониан среды имеет вид

H = ∫ d r [ r v2/2 + e(r)],

где r - плотность среды, v = d f /d r - скорость, f - потенциал, e - внутренняя энергия единицы массы. Каноническими переменными в данной задаче являются плотность и потенциал скорости. Рассмотриваюися звуковые волны небольшой амплитуды, так что возмущение плотности r1 << r0 и скорость движения среды v << cs - скорости звука.

8. Найти для капиллярных волн на поверхности воды глубиной h с точностью до числовых множителей константу трехволнового взаимодействия Vk, k1, k2. Амплитуду волны как функцию двумерного вектора r и времени t обозначим h(r,t). При условии h << l, где l - длина волны, течение жидкости можно рассматривать как потенциальное, т. е. cкорость v(r, t) можно представить в виде v = d f /d r. Энергия волн есть

H/r = ∫d r ∫ dz r v2/2 + (s/2 r) ∫ d r (d h /d r)2

Каноническими переменными являются h(r, t) и f(z= h(r, t), r, t).

9. Показать, что для двумерной турбулентности средние значения волновых векторов для спектра энергии

k1 = ∫ k E(k) d k/E,

где энергия E = ∫ d r r v2/2 = ∫ E(k) d k,

и для спектра энстрофии

k2 = ∫ k H(k) d k/H,

где энстрофия H = ∫ d r W2/2, а завихренность W определяется как ротор скорости, в двух измерениях являющийся скалярной величиной, удовлетворяют неравенствам:

k1 < k* < k2,

где k*=(H/E)1/2 .

10. В газе частиц массой m находится небольшая примесь газа частиц массой

M >> m. Газы находятся в равновесии при температуре T, длина свободного

пробега тяжелых частиц l. Оценить коэффициент диффузии по импульсам

тяжелых частиц.

11. В газе частиц массой m находится небольшая примесь газа частиц массой

M >> m. Газы находятся в равновесии при температуре T, длина свободного

пробега тяжелых частиц l. Оценить коэффициент диффузии по энергии

тяжелых частиц.

12. В газе частиц массой m находится небольшая примесь газа частиц массой

M >> m. Газы находятся в равновесии при температуре T, длина свободного пробега тяжелых частиц l. Найти (по порядку величины) связь коэффициентов диффузии в координатном и импульсном пространствах тяжелых частиц.

13. Фотоны с энергией e рассеиваются на электроном газе с температурой T. Оценить коэффициент диффузии фотонов по энергии в случае e << T << me c2 .

14. Найти среднеквадратичное смещение < r2 > броуновской частицы

за время t. Уравнение движения имеет вид

d p/dt = f (t),

где f - случайная сила с гауссовой статистикой: <fi(t) >=0,

<fi(t) fj(t')> = d ij d (t-t') . Начальные условия: p(t=0)=0, r(t=0)=0.

15. В ферромагнетике в начальный момент времени имелось отклонение

от равновесного значения намагниченности вида

d M(x, 0) = d M0 exp(- x2/ 2 l2).

Найти как будет меняться со временем намагниченность, ограничившись

квадратичным приближением для свободной энергии.

16. В начальный момент времени было n0 радиоактивных ядер, распадающихся

с постоянной l (вероятность распада одного ядра в единицу времени).

Написать кинетическое уравнение для вероятности P(n, t) найти n

радиоактивных ядер в момент времени t. Найти

< D n2 > = < (n2(t) - <n(t)>2) >.

17. Двухуровневая квантовая система с матричными элементами гамильтониана

H11 = H12 = H21 = 0; H22 = e.

взаимодействует с термостатом с температурой T>> e. В начальный момент времени ситема находится в состоянии

F(0) = (3)1/2/2 |0> + 1/2 |1>,

где |0> , |1>- основное и возбужденное состояния системы. Найти матрицу плотности двухуровневой системы в момент времени t. Время релаксации диагональных компонент матрицы плотности T1, недиагональных - T2.

18. Матричные элементы гамильтониана частицы со спином 1/2, с собственным магнитным моментом m, в магнитном поле B, направленном вдоль оси z,

можно представить в виде

H11 = - m B; H12 = H21 = 0; H22 = + m B.

В начальный момент времени система находится в состоянии

F(0) = 1/ (2)1/2 |0> + 1/ (2)1/2 |1>

где |0> и |1> - основное и возбужденное состояния системы.

Найти среднее значение магнитного момента

< Mx > = Sp (m sx r)

в момент времени t, где

( sx)11 = 0; ( sx)12 = ( sx)21 = 1; ( sx)22 = 0.

Частица взаимодействует с термостатом, время релаксации диагональных компонент

матрицы плотности T1, недиагональных - T2.

Экзаменационные билеты по курсу «Физическая кинетика»

Билет №1

1. Классические волны в сплошных средах. Гамильтониан трехволнового

взаимодействия.

2. Уравнение Ланжевена для броуновской частицы.

3. Двухуровневая квантовая система с матричными элементами гамильтониана

H11 = - e/2; H12 = H21 = 0; H22 = e/2 .

взаимодействует с термостатом с температурой T>> e. В начальный момент времени ситема находится в состоянии

F(0) = 1/(2)1/2 |0> + 1/(2)1/2 |1>,

где |0> , |1>- основное и возбужденное состояния системы. Найти матрицу плотности двухуровневой системы в момент времени t. Время релаксации диагональных компонент матрицы плотности T1, недиагональных - T2.

Билет №2

1. Кинетическое уравнение для трехволнового взаимодействия.

Термодинамическое равновесие и H-теорема.

2. Замедление нейтронов в тяжелых средах.

3.. В ферромагнетике в начальный момент времени имелось отклонение

от равновесного значения намагниченности вида

d M(x, 0) = d M0 exp(-| x|/ l).

Найти как будет меняться со временем намагниченность, ограничившись

квадратичным приближением для свободной энергии.

Билет №3

1. Затухание волн в термостате. Оценка затухания звука в трех измерениях.

2. Полимерная цепь в случайном потоке.

3. Найти корреляционную функцию < pi(t1) pj(t2)> броуновской частицы. Уравнение движения имеет вид

d p/dt = f (t),

где f - случайная сила с гауссовой статистикой: <fi(t) >=0,

<fi(t) fj(t')> = d ij d (t-t') . Начальные условия: p(t=0)=0.

Билет №4

1. Масштабная инвариантность в кинетическом уравнении и колмогоровские