Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч. год
Ответы, указания, решения.
1. Ответ: А = 6, Б = 9, С = 1.
2. 33 – 17 = 16(кг) весит половина сиропа.
16 • 2 = 32(кг) весит сироп.
33 – 32 = 1(кг) весит сосуд.
Ответ: 1 килограмм.
3.
1) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить в восьмилитровый.
2) Снова налить молоко в пятилитровый бидон и долить восьмилитровый бидон. Тогда в пятилитровом бидоне останется 2л молока.
3) Вылить молоко в цистерну из восьмилитрового бидона.
4) Перелить 2л молока из пятилитрового бидона в восьмилитровый бидон.
5) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить его в восьмилитровый.
В результате в восьмилитровом бидоне получим 2+5=7 (л) молока.
4. Разделите прямоугольник 3х4 на две равные части. Найдите как можно больше способов. Резать можно лишь по стороне квадрата 1х1, а способы считаются разными, если в каждом случае получаются разные фигуры.
Всего существует 5 вариантов
5. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?
Ответ. 1237 мышек.
Решение.
Кошка = 6 мышек;
жучка = 5 кошек = 30 мышек;
внучка = 4 жучки = 120 мышек;
бабка = 3 внучки = 360 мышек;
дедка = 2 бабки = 720 мышек.
Все вместе дедка + бабка + внучка + жучка + кошка + мышка = 720+360+120+30+6+1=1237 мышек.
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч. год
Ответы, указания, решения.
1. Ответ: 55:5+5=16
2. Ответ: Алеша на трамвае, Боря на автобусе, Витя на троллейбусе. Алеша не может ездить ни на автобусе, ни на троллейбусе.
3. Ответ: Обозначим число гусей в одном хлеве за х, а число козлят за у, тогда учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, получим уравнение: 2х+4у=10. Из данного уравнения имеем, что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно гусей будет 3 или 1. Тогда размещение будет такое: в двух хлевах будет по 1 козе и 3 гусям, в трех хлевах - по 2 козам и 1 гусю.
4. Решение:
Наливаем бензин в 5-литровый бидон и переливаем в бак мотоцикла. Затем вновь наливаем бензин в 5-литровый бидон, переливаем в 9-литровое ведро, наливаем еще раз в 5-литровый бидон и отливаем недостающие 4л в 9-литровое ведро. Тогда в 5-литровом бидоне остается ровно 1 л, его и переливаем в бак мотоцикла.
5. Решение:
Для доказательства составим таблицу зависимости числа набранных очков от числа решенных задач.
Число решенных задач | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Число набранных очков | 20 | 17 | 14 | 11 | 8 | 5 | 2 | 0 | 0 | 0 |
Из таблицы видно, что существует всего 8 различных возможностей получения очков. А так как учеников было 9, то, по крайней мере, два из них получили одинаковое количество очков.
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч. год
Ответы, указания, решения.
1. Ответ: х = -1
2. Ответ: медленнее идет тот туристов, кто делает шаги короче и чаще.
Решение. Действительно, когда второй турист делает своих 10 шагов длины а каждый, первый турист делает 11 своих шагов длины 0,9а каждый. Таким образом, первый турист проходит расстояние 9,9а за то же время, за то же время, за которое второй проходит большее расстояние – 10а.
3. Решение. Добавлением гири, вес которой мы не можем получить при помощи гирь меньших весов, легко получить 1, 2, 4, 8, 15.
4. Решение. 4. Всего денег у купцов (90+85+80+75):3=110 рублей. Поэтому у первого
110–90=20, у второго 110–85 = 25, у третьего 110–80=30, а четвертого 110–75=35 рублей.
5. Решение. Вычислим несколько первых членов данной последовательности: 7; 14; 17; 20; 5; 8;11;5; 8; 11; 5; … Таким образом, начиная с пятого члена последовательности, будет повторяться одна и та же тройка чисел 5, 8, 11, так как 2008 – 4 = 2004, а 2004 кратно 3, то на 2008-м месте будет стоять число 11.
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч. год
Ответы, указания, решения.
1. Ответ : 4.
Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.
2. Ответ. Третьим выстрелом Петя выбил 10, а Вася - 2 очка.
Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30). Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2+3+4 = 9. Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других вариантов набрать 27 очков тремя выстрелами нет). Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка. При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася - не больше, чем 4 очка. Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася. Единственная возможность - Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков.
3. Ответ. 1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года.
Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.
пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.
Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т. к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т. е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.
4. Ответ : 14
Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3·11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3·12 = 59. Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 56:4=14.
5. Ответ : от сгущенки
По условию
3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в, откуда
м + с > 2в. (*). По условию же
3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в, откуда
2с > м + в.
Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда с > в.
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч. год
Ответы, указания, решения.
1. Ответ: Первоначально на корабле было 150 человек.
2. Решение:
Если предметы куплены за 360 рублей, то продали за 360*1,25=450 рублей.
х – себестоимость первого, (360 – х) – себестоимость второго.
1,5х + 1,125*360 - 1,125х= 450
0,375х = 450-405
0,375х = 45
х =120
Ответ: первый продан за 180 р, второй – за 270 р.
3. Ответ: - 1 .
Если число а является корнем уравнения, то верно равенство: 
1 способ: Если к выражению прибавить 1 и вычесть 1 его значение не изменится.
2 способ: умножим обе части на 2:
Подставим полученное выражение в числитель дроби: 
4. Решение:
В треугольнике АВС(АВ=ВС=18) АD и СЕ-высоты. Пусть ВD=х, DС=18-х.
Из прямоугольных треугольников АВD и АDС найдем АD2: АD2=АВ2- ВD2=182-х2 и
АD2= АС2- DС2= 122- ( 18-х)2=122-182=36х-х2, откуда х= 
(см)
Теперь рассмотрим подобные тр. АВС и ВЕD: ЕD/АС=ВD/ВС или ЕD/12=14/18, откуда ЕD= 
(см).
5. Решение:
Сделаем замену x = b1/15, y = a1/10. Тогда доказываемое неравенство приобретает вид
2y5 + 3x5 ≥ 5y2x3.
Деля на y5 и обозначая t = x / y, получаем 3t 5 – 5t 3 + 2 ≥ 0. Разложим левую часть на множители. Последовательно получаем
(3t 5 – 3t 3) – (2t 3 – 2) = 3t 3(t 2 – 1) – 2(t – 1)(t 2 + t + 1) = (t – 1)(3t 3(t + 1) – 2(t 2 + t + 1)) =
=(t – 1)(3t 4 + 3t 3 – 2t 2 – 2t – 2) = (t – 1)((2t 4 – 2t 2) + (t 4 – t) + (t 3 – t) + (2t 3 – 2)) =
= (t – 1)(2t 2(t 2 – 1) + t(t 3 – 1) + t(t 2 – 1) + 2(t 3 – 1)) =
= (t – 1)2(2t 2(t + 1) + t(t 2 + t + 1) + t(t + 1) + 2(t 2 + t + 1)) =
= (t – 1)2(3t 3 + 6t 2 + 4t + 2) ≥ 0.
Для t > 0 выражение в первой скобке ≥ 0, во второй скобке > 0. В итоге, f(t) ≥ 0 для всех t > 0. Равенство нулю достигается лишь при t = 1, т. е. при x = y, т. е. при a3 = b2.
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч. год
Ответы, указания, решения.
1. Ответ: 33
%
2. Решение: В трех контрольных работах оценки могли распределиться, например, следующим образом:
К1 | К2 | К3 | |
А | 5 | 4 | 3 |
В | 4 | 3 | 5 |
С | 3 | 5 | 4 |
3. Ответ: 97 сумм
Решение:
Сначала покажем, что все суммы не могут быть нечетными. Действительно, пусть все суммы нечетны. Это возможно только, если числа идут в следующем порядке: а) нннн…; б) нччнччн…; в) чнччнчч…; г) ччнччнч… .
В первом случае получаем, что все числа от 1 до 100 должны быть нечетны, а в остальных – что четных чисел больше, чем нечетных, т. е. приходим к пртиворечию.
Покажем теперь, как расставить числа, чтобы получилось 97 нечетных сумм:
Четной окажется только 75-я сумма.
4. Решение:
Треугольники АЕС и ВDС подобны, так как ∟ЕСА=∟ВDС и ∟ЕАС=∟DСВ. Пусть h и H – длины перпендикуляров, опущенных из точек Е и В на прямую АС. Тогда в силу подобия указанных треугольников имеем =
. Значит, 
h*DC=H*AC, т. е. 
5. Ответ: 9фишек.
Решение:
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Очевидно, что одну фишку можно поставить так, что она накроет точки каждой клетки фигуры, изображенной на рисунке 1. Поэтому, как показано на рисунке 2, достаточно 9 фишек.
Меньшим количеством фишек обойтись нельзя. Рассмотрим 9 клеток, омеченных на рисунке 3.
Эти клетки удалены друг от друга на расстояние, не меньшее, чем 2, поэтому одна фишка не может задевать две клетки одновременно. Следовательно, фишек должно быть не меньше, чем отмеченных клеток.
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч. год
Ответы, указания, решения.
1. Ответ: 37037 и 74074.
Решение: Из условия х + у = 111111, х + 10у = 777777. Откуда 9у = 66666 у=74074.
Тогда х = 37037.
2. Решение. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C, для которого ÐABC больше ÐСAB. Отметим на AC точку K так, чтобы AK=KB. Выберем на AB точки M и N из условий AM=MK и BN=NK. В этом случае треугольник BKC - прямоугольный, а треугольники AMK, KMN, KNB - равнобедренные. Это и требовалось доказать.
3.
4. Преобразуем выражение к виду 
при 
Значит, 
, при условии, что 
. На рисунке видно, что прямая у = кх не имеет с построенным графиком общих точек, если она горизонтальна, либо если она проходит через одну из удаленных точек 
или 
. Этим случаям соответствуют значения к = 
0; 
; 
5.
