Высшая математика (МПД)

Высшая математика (МПД)

Занятие №1. Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции.

Теоретические вопросы.

1.  Понятие функциональной зависимости.

2.  Основные классы элементарных функций.

3.  Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.

4.  Дифференцирование сложных функций.

5.  Понятие дифференциала аргумента.

6.  Дифференциал функции.

Литература для самоподготовки:

1.  «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 4-37 (составить краткий конспект).

2.  «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М. 2000.

На практическом занятии выполнить задания:

1.  Найти производные функции и решить задачи из [2], стр. 6, №№ 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 20, 31, 32.

2.  Вычислить приращение и дифференциал функции при и .

3.  Найти дифференциалы функций:

; .

Домашнее задание №1.

а) Найти производные следующих функций:

	Доказать, что

б). Определить ускорение тела в момент времени сек, если скорость тела и измеряется в м/сек.

в) При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жидкости имеют различную скорость в зависимости от расстояния от оси трубы.

, где константы.

Найти выражение для градиента скорости на расстоянии от оси трубы.

г). Найти дифференциалы следующих функций:

1) 2) 3)

д) Самоподготовка к Занятию №2: изучить и законспектировать по учебнику «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 52-58):

1.  Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

2.  Понятие функции нескольких переменных.

3.  Частные производные функции нескольких переменных.

4.  Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.

Занятие №2. Производные высших порядков. Частные производные.

Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных.

Теоретические вопросы.

1.  Понятие функции нескольких переменных.

2.  Частные производные функции нескольких переменных.

3.  Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.

4.  Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

Литература для самоподготовки:

1. «Основы высшей математики и статистики» М., 1998.

2. «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М. 2000.

На практическом занятии выполнить задания:

1.  Самостоятельная работа:

1) 2)

3) 4)

5) Концентрация раствора меняется с течением времени по закону .Найти скорость растворения.

2. Найти вторые производные следующих функций:

1) y=(2x+5)3 ; 2)

3. Решить задачу:

Рост числа клеток популяции описывается уравнением:

Получите формулу для скорости роста численности популяции.

4. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:

1)

2)

3)

5. Решить задачи.

1) Насколько изменится значение функции при изменении её аргумента от х=2 до х=2,003.

2)  При деформации цилиндра радиус его основания R уменьшился c 5 cм до 4,09 cм, а высота h увеличилась c 10 cм до 10,05 cм. Найти приближенно изменение объёма цилиндра V. Считать ΔV≈dV. Объём цилиндра V= πR2h.

3)  Давление идеального газа массой m с молярной массой μ зависит от объёма V и температуры T согласно формуле Клапейрона – Менделеева , где R – универсальная газовая постоянная. Найти приращение давления газа при одновременном изменении его объёма и температуры соответственно на ΔV и ΔT. Считать ΔP≈dP.

4)  Скорость точки задана уравнением м/с. Найти изменение скорости точки за 0,001 с.

Домашнее задание №2.

I.  Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 59-83)

1.  Понятие неопределенного интеграла;

2.  Простейшие способы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование

б) интегрирование методом подстановки.

3. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции)

4. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла

5. Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, вычисление работы переменной силы.

Таблица основных интегралов.

II.  Выполнить задания:

1.  Найти производные следующих функций:

1) 4)

2) 5)

3)

2.  Определить ускорение тела в момент времени сек, если скорость тела и измеряется в м/с.

3.  Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:

1)

2)

3)

4)

5)

4.  При нагревании круга радиусом R=40 мм его площадь увеличилась. Оценить увеличение площади круга с помощью дифференциала, если радиус круга увеличился на ΔR=0,01мм.

Занятие №3. Оценка приращения функции с помощью дифференциала.

Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

Теоретические вопросы:

1.  Применение понятия дифференциала в приближенных вычислениях.

2.  Понятие первообразной функции;

3.  Понятие неопределенного интеграла;

4.  Простейшие способы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование

б) интегрирование методом подстановки.

5.  Таблица основных интегралов.

6.  Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции)

7.  Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла

8.  Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, вычисление работы переменной силы.

Литература для подготовки:

1.  «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 32-36; 59-83.

2.  «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов».

На практическом занятии выполнить задания:

Выполнить задания из [2]:

1) Найти неопределенные интегралы, стр. 21, №№1,3,6,8,10,12, решить задачи 1,2;

2) а) Вычислить определенные интегралы, стр. 26, №№ 1, 2, 4, 7;

б) Вычислить площади фигур, стр. 26, раздел II, №№ 1, 3;

Домашнее задание № 3.

I.  Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 82-102)

1.  Понятие дифференциального уравнения.

2.  Чем определяется порядок дифференциального уравнения?

3.  Чем отличается общее и частные решения дифференциального уравнения?

4.  Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.

5.  Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.

II. Выполнить задания:

1). При деформации конуса радиус его основания R уменьшился c 30 cм до 20,8 cм, а высота h увеличилась c 60 cм до 60,2 cм. Найти приближенно изменение объёма конуса V. Считать ΔV≈dV. Объём конуса V=1/3πR2h.

2) Найти следующие неопределенные интегралы:

1.	5.
2.	6.
3.	7.
4.

5) Вычислите определенные интегралы:

1.	3.
2.	4.
5.

6) Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1.  1)

2.  2) x1=1; x2=5.

Занятие №4. Дифференциальные уравнения I порядка.

Дифференциальные уравнения II порядка.

Решение задач с помощью дифференциальных уравнений

Теоретические вопросы.

1.  Понятие дифференциального уравнения.

2.  Чем определяется порядок дифференциального уравнения?

3.  Общее и частные решения дифференциального уравнения.

4.  Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.

5.  Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение на примере вывода физического закона, определяющего ослабление параллельного монохроматического пучка света при распространении его в поглощающей среде (закон Бугера).

6.  Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.

Литература для подготовки:

1)  «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 85-92, 99-102.

2)  «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов», М., 2002.

3)  , , Коржуев и биофизика. ГЭОТАР-Медиа.2010.

Самостоятельная работа. 1.  Найти неопределенные интегралы 1)

2)

3)

2. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

3.  1)

4.  2) x1=0; x2=10.

На практическом занятии выполнить задания:

1. Найти общие и частные решения следующих задач математического моделирования в биофизике:

1) Фармакокинетическая модель

Уменьшение концентрации лекарственного средства в крови пациента при введении его в организм методом инъекции за единицу времени пропорционально его концентрации в данный момент времени, коэффициент пропорциональности – a. Составить дифференциальное уравнение. Найти зависимость концентрации вещества от времени, если при t=0, C=C0, построить график зависимости C(t).

2)  Модель естественного роста численности популяции (Модель Мальтуса)

Увеличение численности кроликов, завезённых в Австралию на кораблях Первого флота в 1788 году, за единицу времени пропорционально их количеству в данный момент времени (коэффициент пропорциональности – k). Составить дифференциальное уравнение. Найти общее и частное решения, если при t=0, N= N0. Построить график естественного роста популяции кроликов в Австралии. Проверить полученное решение на адекватность.

2.Найти общие решения дифференциальных уравнений II порядка:

, при y(0)= -3, y¢(0)=0.

, при y(0)=0, y¢(0)=1.

, при y(1)=10, y¢(1)=2.

3.Решить задачи: а) Груз массой 40 г колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой k=0,36 н/м. Силу трения не учитывать. В начальный момент отсчета времени груз сместили на расстояние х0=4 см от положения равновесия, растянув пружину, и отпустили к нулевой начальной скорости. Определить:

• закон отклонения груза;

• отклонение груза от положения равновесия в момент t=𝛑/3;

• частоту колебаний груза.

Решить предыдущую задачу при условии наличия силы трения, v-скорость движения груза. Определить закон движения груза, начертить график движения груза.

Домашнее задание №4.

Решить задачи:

1. Составить дифференциальное уравнение для радиоактивного распада, если скорость уменьшения количества нераспавшихся атомов, пропорциональна их количеству N в данный момент времени (коэффициент пропорциональности – a). Найти общее и частное решения, если при t=0, N= 108.

2.Скорость материальной точки задана уравнением м/с. Составить закон зависимости пути, пройденного данной материальной точкой, от времени.

3. Зависимость между массой вещества М, получаемой в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением М=5t2+ 6t. Найти скорость реакции.

4. Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону

C=C0 где C0 – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента концентрации.

5.Найти общее решение дифференциального уравнения и подстановкой проверить правильность найденного решения. Найти частное решение при x=0, y=2.

6.Решить дифференциальные уравнения.

.

Занятие №5.Подготовка к контрольной работе-45 мин.

Контрольная работа № 1.

Образец контрольной работы по высшей математике

для медико-профилактического факультета (I семестр).

Вариант №0

1.  Найти первую производную и дифференциал функции у = cos3 х.

2.  Найти частные производные, частные дифференциалы и полный дифференциал функций: u=cos(x2/y).

3.  Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону

C=C0 C0 – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента концентрации.

4.  Шарик совершает колебания по закону S = 10 sin

Получить формулу для расчета мгновенных скорости и ускорения шарика.

5.  Найти неопределённый интеграл: .

6.  Вычислить определённый интеграл:

7.  Найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка, если при х=0, y=y0 , k=const,

y’= ky.

8.  Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y’’ + 4y=0.

9.  Через слой вещества проходит пучок света. Уменьшение интенсивности света (dI), поглощенного при прохождении через тонкий слой вещества, пропорционально толщине слоя dx и интенсивности света I, падающего на его поверхность (коэффициент пропорциональности – a). Составить дифференциальное уравнение, решить его и получить формулу для зависимости интенсивности I от x, если при x=0, I=I0.