Блок 1. Для тех, кто любит математику.

1.  Каждый угол 400-угольника равен целому числу градусов. Докажите, что у этого 400-угольника найдутся 3 параллельные стороны.

2.  Докажите что при любых положительных a,b выполняется неравенство .

3.  На плоскости расположено n≥5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

4.  Пусть a4+a3+a2+a+1=0. Найти значение выражения a2000+a2010+1.

5.  Первоклассница Маша, заходя в школу, каждый раз поднимается на школьное крыльцо по лестнице, имеющей 10 ступенек. Находясь внизу лестницы или на очередной ее ступеньке, она может либо подняться на следующую ступеньку, либо перепрыгнуть через одну ступеньку вверх (перепрыгнуть через две или более ступенек Маша пока не может). Какое минимальное количество раз Маше нужно зайти в школу, чтобы подняться на крыльцо всеми возможными способами?

Блок 2. Для тех, кто любит учителя математики.

1.  Маша выписала на доске подряд все натуральные числа от 2 до 2015. Пришёл Ваня и заменил каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришла Таня и сделала то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось 2014 однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?

2.  Доказать неравенство +

3.  В ряд стоит 56 кроссовок 28 правых и 28 левых. Докажите, что среди некоторых 14 подряд стоящих кроссовок левых и правых поровну.

4.  Список упорядоченных в порядке возрастания длин сторон и диагоналей одного выпуклого четырехугольника совпадает с таким же списком для другого четырехугольника. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

5.  Треугольник LOM с углом Ð LOM = a° повернули на некоторый острый угол вокруг точки O. При этом точка L переходит в точку N, лежащую на стороне LM, а точка M – в такую точку K, что OM^NK. Найдите угол поворота (в градусах).

Блок 3. Для тех, кто любит маму.

1.  Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (1–3x+2x2)743(1+3x–2x2)744.

2.  На окружности расположено 2016 чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что для любого натурального n≤2016, найдутся n подряд стоящих на окружности чисел, сумма которых также неотрицательна.

3.  Квадратный трехчлен f(x) разрешается заменить на трехчлен x2×f(1+1/x) или на (x-1)2f(1/(x-1)). Можно ли такими операциями из квадратного трехчлена x2+4x+3 получить трехчлен x2+10x+9?

4.  Укажите целое число, ближайшее к числу

5.  Из сосуда, до краев наполненного вкусным 100%-м соком, пятиклассница Маша за день отпила 1 л сока, а вечером долила в сосуд 1 л воды. На следующий день после тщательного перемешивания она выпила 1 л смеси и вечером долила 1 л воды. На третий день, снова перемешав смесь, она выпила 1 л этой смеси и вечером долила 1 л воды. Утром следующего дня родители выяснили, что объем воды в сосуде на 1,5 л больше объема оставшегося сока. Сколько литров сока выпила в итоге Маша? Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.

Блок 4. Для тех, кто любит Родину.

1.  Марсианин рождается в полночь и живет ровно 100 суток. Известно, что за всю историю вымершей ныне марсианской цивилизации родилось нечетное число марсиан. Докажите, что было по крайней мере 100 дней, когда число жителей Марса было нечетным.

2.  На доске Вован выписал 2011 единиц и 2010 двоек. Затем он с Димоном сыграл в следующую игру: по очереди за один ход Вован и Димон стирали 2 или 3 одинаковых цифры. Проиграл тот, кто не смог сделать очередного хода. Смог ли в этой игре Вован обыграть Димона, если он начал первым?

3.  Докажите что 1/2-1/3+1/4-1/5+…-1/99+1/100>1/5

4.  Доказать, что любой прямоугольник можно разрезать ровно на 5 попарно различных равнобедренных треугольников.

5.  На плоскости дано 400 точек. Докажите, что различных расстояний между ними не менее 15.

Блок 5. Для тех, кто хочет учиться в 10 физико-математическом классе.

1.  На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 72017. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 20177? 

2.  На плоскости дано множество из n≥9 точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.

3.  На плоскости дано k точек, расположенных так, что на каждой прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё одна из них. Доказать, что все k точек лежат на одной прямой.

4.  На окружности расположено 2016 чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что для любого натурального n≤2016, найдутся n подряд стоящих на окружности чисел, сумма которых также неотрицательна.

5.  Шариковая ручка стоит 10 рублей, гелевая – 50 рублей, а перьевая – 80 рублей. Какое наибольшее количество гелевых ручек можно купить при условии, что всего нужно купить ровно 20 ручек и среди них должны быть ручки всех трех типов, а истратить на них нужно ровно 1000 рублей?

6.  Среди чисел, превышающих 2016, найдите наименьшее четное число N, при котором дробь сократима.