І. Навколо бісектриси трикутника. // Математика в школах України -2012 №30 (стр. 2 )

, тому ; ; .

Аналогічно виводяться формули для інших двох бісектрис.

Наведемо й інші формули для обчислення довжин бісектрис внутрішніх кутів трикутника, серед яких є доволі «екзотичні», але й вони знаходять застосування при розв’язуванні задач.

(5); (6); (7);

(8).

Покажемо застосування формул для обчислення довжин бісектрис до доведення теорем і розв’язування задач.

Теорема Піфагора.

Довести, що у прямокутному трикутнику сума квадратів катетів рівна квадрату гіпотенузи.

Нехай дано прямокутній трикутник з катетами а і в та гіпотенузою с. Побудуємо трикутник симетричний даному відносно прямої яка містить катет в. Отримаємо рівнобедрений трикутник з бісектрисою рівною в, бічними сторонами рівними с і основою поділеною бісектрисою на відрізки, кожний з яких рівний а. За формулою Лагранжа: або

 

Теорема Штейнера – Лемуса.

Довести, що трикутник з двома рівними бісектрисами – рівнобедрений.

За словами Мартіна Гарднера це одна із самих підступних теорем елементарної геометрії. Вона є яскравим прикладом для демонстрації методичного прийому: «здивувати учня». У сьомому класі після вивчення ознак рівності трикутників учні легко доводять теореми про рівність медіан, висот і бісектрис проведених до бічних сторін рівнобедреного трикутника Не виникає труднощів і з формулюванням обернених теорем. Доводять теорему про рівнобедреність трикутника з двома рівними висотами і навіть, правда нечасто, за двома рівними медіанами. І викликає здивування, що не вдається довести теорему про рівнобедреність трикутника з двома рівними бісектрисами. В літературі є багато різних геометричних доведень знайдених математиками всього світу більш ніж за 170 років з часу появи теореми. Ми покажемо доведення, які ґрунтуються на формулах довжин бісектрис.

І спосіб.

Доведемо теорему використавши формулу (4). Нехай , тоді . Значить згідно (4) , , , ,

,

,

.

Так як сума у другій дужці рівності додатна, то рівність можлива тільки при .

Значить трикутник рівнобедрений.

ІІ спосіб.

А тепер застосуємо формулу (2). Нехай , де і .

Припустимо, що тоді , , або (*)

Так як то (проти більшої сторони лежить більший кут), , а (на проміжку функція додатна і спадна), тому (**).

Перемноживши нерівності (*) і (**) одержимо, що ,а це суперечить умові. Аналогічну суперечність отримаємо припустивши, що . Таким чином залишається єдиний випадок: . Отже трикутник рівнобедрений.

Задача 1. Дві сторони трикутника рівні 6 см і 12 см. Чи може бісектриса кута між ними дорівнювати 8 см?

Розв’язання. І спосіб. Нехай cм, см, см. Використаємо формулу (2). Так як , то см.

ІІ спосіб. Нехай третя сторона трикутника буде рівна х см, тоді бісектриса поділить її на відрізки

см і см. За формулою (3) Звідки см. Але трикутник із сторонами 6 см, 6 см, 12 см не існує, тому бісектриса не може бути рівною 8 см.

Відповідь. не може

Задача 2. У трикутнику АВС бісектриса кута А перетинає сторону ВС у точці К. Відомо, що, а . Знайти довжину бісектриси АК.

Розв’язання. Нехай , а , тоді , а . За формулою Лагранжа маємо.

За «теоремою про бісектрису трикутника» , або . Значить , . Відповідь..

Задача 3. Знайти співвідношення між площею даного трикутника S і площею трикутника утвореного основами бісектрис -.

Розв’язання

Нехай сторони даного трикутника, площею S, АВ, АС, ВС відповідно дорівнюють c, b, a, а площа трикутника MNK, утвореного основами бісектрис, . За «теоремою про бісектрису трикутника» маємо: , , , , , .