Международный УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Утверждаю
Ректор АО «МУИТ»
___________
«____»_____________2016 г.
Программа
вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6M070500 – Математическое и компьютерное моделирование
(магистратура научная и профильная)
Алматы 2016
Программа составлена в соответствии с Типовыми учебными программами (ГОСО РК от 22 июня 2006 г.) по специальности 6M070500 – Математическое и компьютерное моделирование. Их основные правила охватывают следующие базовые и специальные дисциплины:
1. Введение в вычислительную математику
2. Дифференциальные уравнения
3. Дискретная математика и математическая логика
Программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры «Математическое и компьютерное моделирование»
Протокол № " " 2016 г.
Зав. кафедрой ______________ Б. Рысбайулы
Программа рассмотрена и утверждена на заседании Совета факультета информационных технологий
Протокол № " " 2016 г.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
I. ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ
1. Задача интерполирования. Вывод формулы сплайна первого порядка. Значение сплайна первого порядка в промежуточных точках.
2. Задача интерполирования. Формула сплайна второго порядка. Значение сплайна второго порядка в промежуточных точках.
3. Вывести расчетных формул коэффициентов сплайна второго порядка.
4. Точность сплайна первого порядка в промежуточных точках (показать).
5. Точность сплайна второго порядка в промежуточных точках (показать).
6. Сетка. Основные и промежуточные узлы. Шаг сетки.
7. Левая разностная производная. Аппроксимация и точность (показать).
8. Правая разностная производная. Аппроксимация и точность (показать).
9. Центральная разностная производная первого порядка. Аппроксимация и точность (показать).
10. Разностная производная второго порядка. Аппроксимация и точность (показать).
11. Задача Коши. Явная схема Эйлера и ее точность (показать).
12. Задача Коши. Неявная схема Эйлера и ее точность (показать).
13. Задача Коши. Метод Рунге-Кутта второго порядка и его точность (показать).
14. Задача Коши. Метод Рунге-Кутта третьего порядка и его точность. Привести пример.
15. Задача Коши. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка и его точность. Привести пример.
16. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Расчетные формулы.
17. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя. Расчетная формула. Сходимость метода.
18. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Расчетная формула. Привести пример.
19. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби. Расчетная формула. Привести пример.
20. Решение нелинейных уравнений методом половинного деления. Алгоритм. Привести пример.
21. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Алгоритм. Привести пример.
22. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом хорд. Алгоритм. Привести пример.
23. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом секущих. Алгоритм. Привести пример.
24. Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольников. Точность метода. Алгоритм.
25. Приближенное вычисление определенного интеграла методом трапеций. Точность метода. Алгоритм.
26. Приближенное вычисление определенного интеграла методом Симпсона. Точность метода. Алгоритм.
27. Вывод формулы Симпсона вычисления определенного интеграла.
28. Вычисление значений полинома. Схема Горнера. Алгоритм.
29. Итерационная формула вычисления обратной величины. Вывести расчетную формулу. Алгоритм.
30. Итерационная формула вычисления квадратного корня. Вывести расчетную формулу. Алгоритм.
31. Вычисление обратной величины квадратного корня. Вывести расчетную формулу. Алгоритм.
32. Итерационная формула вычисления кубического корня. Вывести расчетную формулу. Алгоритм.
33. Приближенное нахождения сумм числовых рядов. Алгоритм.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ващенко математика. Основы конечных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Красноярск: СибГТУ, 2005.
2. Ващенко математика. Основы алгебраической и тригонометрической интерполяции. Красноярск: СибГТУ, 2008.
3. Колдаев методы и программирование. 2016, 336 с.
4. Рено методы. Учебное пособие. 2007, 100 с.
5. Численные методы. Курс лекций, 2010, 208 с.
6. Вычислительные методы. 2012, 400 с.
7. Germund Dahlquist and Åke Björck, Numerical Methods (Dover Books on Mathematics) Reprint Edition, 2016.
8. Richard Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers, 2016.
9. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis, Hardcover, 463 pages
Published June 3rd 2004 by Oxford University Press, USA
10. Authors: Author K Kaw | Co-Author: Egwu E Kalu, Duc Nguyen textbook: numerical methods with applications.
11. , Гулин методы, М. Наука, 1989
12. Рябенький в вычислительную математику, М. Наука, 1994
13. Волков методы алгебры, М. Наука, 1982
14. Турчак численных методов, М. Наука, 1987
15. , Марон вычислительной математики, М. Наука, 1966 (2009).
I.
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. Задача Коши. Пример.
2. Геометрическая задача на составление дифференциального уравнения с разделяющим переменным.
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Пример.
4. Геометрическая задача на составление однородного дифференциального уравнения первого порядка.
5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Пример.
6. Геометрическая задача на составление линейного дифференциального уравнения первого порядка.
7. Уравнение Бернулли. Задача Коши. Пример.
8. Уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши. Пример.
9. Понижение порядка дифференциального уравнения второго порядка, которое не содержит искомой функции 
. Задача Коши. Пример.
10. Понижение порядка дифференциального уравнения второго порядка, которое не содержит независимой переменной 
. Задача Коши. Пример.
11. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай, когда дискриминант больше нуля. Общее решение. Задача Коши. Пример.
12. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай, когда дискриминант равен нулю. Общее решение. Задача Коши. Пример.
13. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай, когда дискриминант меньше нуля. Общее решение. Задача Коши. Пример.
14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай, когда правая часть дифференциального уравнения 
и число 0 является корнем характеристического уравнения. Общее решение. Задача Коши. Пример.
15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай, когда правая часть дифференциального уравнения и число 0 не является корнем характеристического уравнения. Общее решение. Задача Коши. Пример.
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай, когда правая часть дифференциального уравнения 
и число 
является корнем характеристического уравнения. Общее решение. Задача Коши. Пример.
17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай, когда правая часть дифференциального уравнения и число не является корнем характеристического уравнения. Общее решение. Задача Коши. Пример.
18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай, когда правая часть дифференциального уравнения 
и число 
является корнем характеристического уравнения. Общее решение. Задача Коши. Пример.
19. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай, когда правая часть дифференциального уравнения и число не является корнем характеристического уравнения. Общее решение. Задача Коши. Пример.
20. Линейная независимость функций. Определение. Показать, что система функций 
линейно независима на отрезке 
.
21. Линейная независимость функций. Определение. Показать, что система функций 
, где 
попарно различны, линейно независима на отрезке .
22. Линейная независимость функций. Определение. Показать, что система функций 
, где 
, линейно независима на отрезке .
23. Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного дифференциального уравнения 
. Пример.
24. Постановка краевых задач для линейного неоднородного дифференциального уравнения . Пример.
25. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду. Метод исключения неизвестных.
26. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду. Метод собственных векторов.
ЛИТЕРАТУРА
1. , , Топунов уравнения и уравнения с частными производными: учебник ВЛАДОС 2011 г. 376 страниц.
2. , , Уразгильдина и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. ФИЗМАТЛИТ 2010 г. 428 страниц.
3. Егоров дифференциальные уравнения с приложениями ФИЗМАТЛИТ 2007 г. 434 страницы
4. , , Пантелеев дифференциальные уравнения. Логос 2010 г. 384 страницы.
5. , лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений МОСКВА 2016.
6. Лиховодова уравнения в задачах и приложениях. сб. задач Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2012, 70 с.
7. Dennis G. Zill. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications 10th Edition, 2012.
8. William E. Boyce and Richard C. DiPrima . Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 2012.
9. Dennis G. Zill and Warren S. Wright Differential Equations with Boundary-Value Problems, 8th Edition, 2012
10. , Обыкновенные дифференциальные уравнения, - М.: Наука, 1974.
11. , Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1970.
12. , Сборник задач по дифференциальным уравнениям, - М.: Наука, 1979.
13. , Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Минск. Высшая школа, 1974.
14. , , Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям, – М. Высшая школа, 1965.
III. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
1. Высказывания, операции над высказываниями. Тавтология. Логически эквивалентные формулы. Логические эквивалентности (законы).
2. Предикаты и кванторы. Пространство рассуждений. Связанная и свободная переменные. Отрицание высказываний. Перевод высказываний естественного языка в логические выражения и наоборот.
3. Множества и операции над множествами. Подмножества. Универсальное множество. Множество всех подмножеств данного множества. Декартовы произведения. Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Теоретико-множественные тождества.
4. Функции. Область определения и область значений функции. Инъективные и сюръективные функции. Биекция. Напольная и потолочная функции. Обратные функции. Композиция функций.
5. Правила вывода. Правила вывода для утверждений, содержащих кванторы. Методы доказательства. Математическая индукция.
6. Основные принципы комбинаторики: правило суммы, правило произведения. Принцип Дирихле. Перестановки, сочетания. Биноминальная теорема. Перестановки и сочетания с повторениями.
7. Отношения и их свойства (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность). Представление отношений с помощью матриц или ориентированных графов. Отношение эквивалентности. Разбиение на классы эквивалентности. Отношение частичного порядка. Лексикографический порядок. Диаграмма Хассе. Максимальный и минимальный элементы. Верхняя и нижняя границы, наименьшая верхняя граница, наибольшая нижняя граница, наибольший элемент, наименьший элемент. Решетка.
8. Графы, их классификация. Цикл, степень вершины, изолированные вершины, висячая вершина. Теорема о рукопожатиях. Специальные виды простых графов. Полные графы. Двусторонний граф. Представление графов с помощью матрицы смежности и матрицы инцидентности. Изоморфизм графов. Маршруты. Связность в неориентированных и ориентированных графах.
ЛИТЕРАТУРА
1. , , Курс дискретной математики. – М.: изд-во МАИ, 1992.
2. , , Элементы дискретной математики. – М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002.
3. , Дискретная математика для программистов. – Спб.: Питер, 2001.
4. , , Дискретная математика. – М.: изд-во МГТУ им. , 2001.
5. , Адельсон-, Дискретная математика для инженера. – М.: Энергия, 1980.
6. , Фундаментальные основы дискретной математики. – М.: Наука – Физматгиз, 2002.
7. , , Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов.- М.: Наука, 1984.
8. Комбинаторика для программистов. – М.: Мир,1988.
9. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.
10. , , Математическая логика. – М.: Наука, 1979.
11. , Алгоритмы и рекурсивные функции. – М.: Наука, 1986.
12. , Введение в математическую логику. – М.: «Высшая школа», 2001.
13. , , Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1977.
14. Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, fourth edition, 1999.
