I.4. Сходится ли последовательность при фиксированном . Если да, то вычислите .

I.5. Докажите, что

a) , где - целая часть , то есть такое целое , что , а - дробная часть , то есть число равное .

б), где НОД. Постройте аналог этой формулы для произвольного положительного .

в) Найдите алгоритм вычисления . Начните с рационального .

I.6. а) Проверьте выполнение равенства для целых и . Найдите всё множество пар , для которых это равенство будет выполняться для любого натурального . Найдите связь (в виде нетривиальных тождеств или неравенств) между и .

б) Найдите связь (в виде нетривиальных тождеств или неравенств) между и .

II. Аналогично введём понятие множества натуральных точек под параболой , где - положительное действительное число. Число элементов в этом множестве обозначим . Также введём понятие множества натуральных точек под параболой . Число элементов в этом множестве обозначим .

II.1. Попробуйте ответить на вопросы пунктов 1,2,3 для и . В частности покажите, что

II.2. Сходится ли последовательность при фиксированном . Если да, то найдите . Решите аналогичную задачу для последовательности .

II.3. a) Докажите, что

Получите аналогичное тождество для .

б) Докажите, что если - положительное иррациональное, то

Получите аналог этого утверждения для произвольного положительного .

II.4. Попробуйте ответить на вопросы пунктов I.5.в, I.6 для функций и .

Дальнейшие исследования. Рассмотрите обобщение данной задачи,

а) на плоскости для кривых

,

б) в трёхмерном пространстве для плоскости , где и - положительные действительные числа.

Попробуйте построить аналогичные тождества и алгоритмы.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7