г. Мурманск 16.04.2016г. МАЛ
Открытая олимпиада по математике
“Кубок Андреева”.
РЕШЕНИЯ
1) 14.04.2016 Петя заметил, что в записи этой даты сумма первых четырех цифр равна сумме последних четырех. Когда в этом году такое совпадение случится в последний раз?
Ответ: 24.12.2016
2) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире с номером 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
Решение:
Если на этаже не более трёх квартир, то в десяти подъездах их не более, чем 10·9·3 = 270, то есть в 10-м подъезде квартиры № 000 не будет. Если на этаже не менее пяти квартир, то уже в девяти подъездах будет не менее, чем 9·9·5 = 405 квартир, то есть Сашина квартира будет не в 10-м подъезде. Значит, квартир на этаже 4, в первых девяти подъездах 9·9·4 = 324 квартиры. Тогда в 10-м подъезде квартиры начинаются с 325-й. На втором этаже они начнутся с 329-й, на третьем — с 333-й. Таким образом, Пете нужно подняться на третий этаж.
Ответ: на 3-й этаж.
3) Среди 4-х людей нет трех с одинаковым именем, одинаковым отчеством или одинаковой фамилией, но у любых двух людей совпадают либо имя, либо отчество, либо фамилия. Может ли так быть? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Да, так может быть, например: Иван Иванович Иванов, Иван Петрович Петров, Петр Иванович Петров, Петр Петрович Иванов.
4) Существует ли четырехугольник, который можно разрезать двумя прямыми ровно на шесть кусков?
Ответ: существует.
5) Папа, Маша и Петя вместе идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Петя делает 5 шагов. Маша и Петя посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?
Решение:
Пока папа делает 9 шагов, Маша делает 15 шагов, Петя – 25, а Маша с Петей вместе – 40. Раз они вместе прошли 400 шагов, то есть 10·40, то и папа пройдёт в 10 раз больше – 90 шагов.
Ответ: 90 шагов.
1) Произведение пяти различных чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.
Решение:
Пример набора целых чисел: 5, 6, 7, 8, -1.
Можно построить и другой пример: пусть первые четыре 2, 3, 4, 5. Получаем уравнение на пятое число x: 120x=24(x-1), откуда x= -1/4.
2) На контрольной работе учитель дал пять задач и ставил за контрольную оценку, равную количеству решённых задач. Все ученики, кроме Пети, решили одинаковое число задач, а Петя – на одну больше. Первую задачу решили 9 человек, вторую – 7 человек, третью – 5 человек, четвёртую – 3 человека, пятую – один человек. Сколько четвёрок и пятерок было получено на контрольной?
Решение: Предположим, что Петя получил не меньше 4, тогда остальные решили не меньше 3 задач каждый, и суммарное число задач, решённых всеми учениками, – не меньше 3·9 = 27 (из условия видно, что число учеников не меньше 9). Но, с другой стороны, это число равно 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25. Противоречие.
Ответ: ни одной.
3) Будем называть двойняшками два трёхзначных числа, произведения цифр которых равны. А умными двойняшками – те из них, для составления которых использованы шесть различных цифр и в числах они расставлены по возрастанию. Например, числа 182 и 414 - двойняшки, а числа 189 и 346 - умные двойняшки. Найдите все пары умных двойняшек и докажите, что других нет.
Решение: Составим два трёхзначных числа из различных цифр. Каждая из цифр 0, 5 и 7 может оказаться лишь в одном из двух чисел, нарушая равенство произведений, значит, они не могут быть использованы при составлении чисел. Тогда каждое произведение цифр имеет вид 2m3n (т. к. 2=21, 3=31, 4=22, 6=2*3, 8=23, 9=32). В разложениях оставшихся семи цифр на простые множители двойка присутствует 7 раз. Следовательно, для того, чтобы разбить цифры на две группы с одинаковым произведением, необходимо "выбросить" цифру с нечётным количеством двоек в разложении. Это цифры 2,6 и 8. "Выбросить" 6 нельзя (иначе останется нечётное количество троек). А значит, необходимо создать умных двойняшек либо из набора (1,3,4,6,8,9), либо из набора (1,2,3,4,6,9). Т. к. цифры в числах идут по возрастанию, найденные наборы задают числа единственным образом.
Ответ: 189 и 346 или 149 и 236.
4) Петя думает, что только равносторонний треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Прав ли он?
Решение : Возьмём прямоугольный треугольник ABC, где угол A = 30o (см. рис.) Пусть D - середина гипотенузы AB. Разрежем треугольник по перпендикуляру DE к гипотенузе (E лежит на AC) и по отрезку EB. Мы получили три прямоугольных треугольника. Треугольники ADE и EDB равны по двум катетам (AD = DB, DE - общая), а треугольники EBD и EBC равны по катету и гипотенузе (DB = CB, BE - общая).
|
Ответ: не прав.
5) В семиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл тысячный домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло?
Решение: Найдём сколько домовых оказалось в лифте за рейс с первого на седьмой этаж и обратно, до момента, когда лифт вернулся на первый этаж. На первом и седьмом этажах вошло по одному домовому, а на всех остальных этажах – по два домовых. Таким образом, за один рейс в лифт заходят 12 домовых.
1000 = 83·12 + 4. Значит, после 83 рейсов в лифт сумеют войти ещё 4 домовых: на первом, втором, третьем и четвёртом этажах.
Ответ: на четвёртом этаже.
1) Для ремонта пропеллера Карлсону необходимо купить три лопасти и один винтик. В магазине продаются лопасти по 120 тугриков и винтики по 9 тугриков. Но после покупки не менее, чем на 250 тугриков, дают скидку 20% на все следующие покупки. Сможет ли Карлсон отремонтировать пропеллер, если у него с собой только 360 тугриков?
Решение:
Пусть первой покупкой Карлсон приобретёт две лопасти и два винтика, потратив 2(120 + 9) = 258 тугриков. Поскольку стоимость покупки больше 250 тугриков, то третью лопасть Карлсон может приобрести со скидкой 20%, потратив 120·0,8=96 тугриков. Итак, суммарно Карлсон потратит 258 + 96 = 354 тугрика.
Ответ: cможет.
2) Найдите все возможные наборы из шести простых чисел, в которых наименьшее на 2, 6, 8, 12 и 14 меньше каждого из остальных соответственно. Докажите, что кроме указанных Вами наборов, других не существует.
Решение:
Наименьшее из чисел не может быть чётным числом, так как иначе остальные не будут простыми числами. Оно не может оканчиваться на 1, 3, 7, 9 - иначе одно из остальных, будет делиться на 5. Единственное простое число, удовлетворяющее этим условиям, - 5. Проверка показывает, что если наименьшее из чисел будет равно 5, то остальные числа также будут простыми.
Ответ: существует единственный такой набор 5, 7, 11, 13, 17, 19.
3) Решите уравнение:
1993 = 1 + 8 : (1 + 8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x))))).
Решение:
Будем упрощать уравнение ''снаружи'' скобок, а не изнутри:
8 : (1 + 8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x))))) = 1992 =>
1 + 8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x)))) = 8/1992 = 1/249 =>
8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x)))) = - (248/249) =>
1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x))) = - (8*(249/248)) = - (249/31) =>
8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x))) = 280/31 =>
1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x)) = (8*31)/280 = 31/35 =>
4 : (1 - 4 : (1 - 8 : x)) = - (4/35) =>
1 - 4 : (1 - 8 : x) = - 35 =>
4 : (1 - 8 : x) = 36 =>
1 - 8 : x = 4/36 = 1/9 =>
8 : x = 8/9 =>
Ответ: 9.
4) Приведите пример шестиугольника, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника. Покажите, как это можно сделать.
Решение:
На рисунке изображен шестиугольник, который разрезается на четыре прямоугольных треугольника со сторонами 3, 4, 5.
5) Группа туристов должна была прибыть на вокзал в 5 часов. К этому времени с турбазы за ними должен был прийти автобус. Однако, прибыв на вокзал в 3:10, туристы пошли пешком на турбазу. Встретив на дороге автобус, они сели в него и прибыли на турбазу на 20 минут раньше предусмотренного времени. С какой скоростью шли туристы до встречи с автобусом, если скорость автобуса 60 км/ч?
Решение:
Туристы сэкономили 20 минут, за это время автобус дважды проехал бы путь, который они прошли. Следовательно, на пути к вокзалу автобус сэкономил 10 минут, то есть встретил туристов в 4:50. Значит, туристы прошли расстояние от вокзала до встречи с автобусом за 100 минут, то есть в 10 раз медленнее автобуса.
Ответ: 6 км/ч.
