Основные свойства дюрации и выпуклости облигаций

3.2. Основные свойства дюрации и выпуклости облигаций

Дана облигация, по которой через лет, где , должны выплачиваться денежные суммы в размерах соответственно.

Имеют место следующие утверждения:

1.Дюрация любой облигации не превышает срока ее погашения. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку ее погашения.

▲ По условию . Тогда

Для чисто дисконтной облигации в правой части равенства будет находиться только одно слагаемое. Поэтому . ■

2. Если облигация не является чисто дисконтной, то чем больше внутре­н­няя доходность облигации, тем меньше дюрация и выпуклость облигации (доказательство можно посмотреть в [ 1 ] ).

3. Если все платежи по облигациям отсрочить на одно и тоже число лет - τ, не меняя годовой внутренней доходности облигации, то ее дюрация увеличится на лет, а выпуклость – на , где D – дюрация исходной облигации (доказательство см. в [1] ).

Рассмотрим теперь купонную облигацию, по которой купоны оплачиваются m раз в год. Дюрацию и выпуклость такой облигации принято рассчитывать при условии, что проценты начисляются m раз в год. Пусть А – номинальная стоимость облигации, f – купонная ставка облигации, n – число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации.

Непосредственно после очередного купонного платежа дюрацию и выпуклость облигации можно вычислить следующим образом

,

,

Где , ;

.

Пример 3.2.1. Дана 10 летняя купонная облигация с полугодовыми купонами по ставке 10%. Годовая внутренняя доходность облигации –8%. Найдем дюрацию и выпуклость облигации.

▲ В нашем случае

;

;

.

Тогда лет.

лет2. ■

4. Если до погашения купонной облигации остается более одного купонного платежа, то чем выше купонная ставка при неизменной годовой внутренней доходности, тем меньше дюрация и выпуклость облигации (доказательство см. в [ 1 ] ).

Замечание. При оценке влияния изменения рыночных ставок на стоимость облигаций удобно использовать модифицированную дюрацию и модифицированная выпуклость облигации, которые определяются соотношениями:

,

(3.2.1)

где дюрация и выпуклость (Маколея) этой облигации, когда годовая внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год

Из соотношений (3.1.2) и (3.1.4) следует, что

,

(3.2.2)

где – стоимость облигации при годовой внутренней доходности .

Если приращение годовой внутренней доходности достаточно мало по абсолютной величине, то относительное изменение стоимости облигации можно найти из соотношения

.

(3.2.3)

Откуда следует, что при достаточно малом изменении годовой внутренней доходности облигаций с одинаковыми модифицированными дюрациями у облигации с большей модифицированной выпуклостью относительный рост стоимости больше, а относительное снижение стоимости меньше. Это означает, что для инвесторов более привлекательна облигация с большей модифицированной выпуклостью при одной и той же модифицированной дюрации.

При достаточно малом положительном изменении годовой внутренней доходности приближенной оценкой модифицированных дюрации и выпуклости могут быть формулы:

;

Пример 3.2.2. Дана облигация с потоком платежей, указанным в таблице, и с годовой внутренней доходностью 8% при начислении процентов дважды в год. Найдем модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость облигации точно и приближенно при .

▲ Предварительные расчеты приведены в таблице.

0,5	100	96,153846	0,163527	0,081764	0,081764	96,385542	95,923261
1,0	120	110,946746	0,188684	0,188684	0,283026	111,482073	110,415265
1,5	140	124,459490	0,211665	0,317498	0,634995	125,361367	123,566244
2,0	300	256,441257	0,436124	0,872248	2,180620	258,921929	253,990223
	588,001339	1,000000	1,460194	3,180405	592,150911	583,894993

Откуда и

.

Так как , то

;

.■

При временной структуре процентных ставок с начислением процентов m раз в год текущая стоимость облигации находится из выражения:

.

Пусть – стоимость облигации при уменьшении (увеличении) всех процентных ставок на одну и ту же достаточно малую величину, тогда модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость можно оценить приближенно:

, .

Пример 3.2.3. Дан поток платежей по облигации и дана временная структура процентных ставок при начислении процентов дважды в год:

Срок, годы	0,5	1,0	1,5	2,0
Процентная ставка, %	7,0	7,2	8,0	8,5
Платежи, долл.	100	120	140	300

Определим модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость облигации.

▲ Основные расчеты сведены в таблицу

0,5	100	0,070	96,618357	96,665056	96,571704
1,0	120	0,072	111,805131	111,913129	111,697289
1,5	140	0,080	124,459490	124,639172	124,280154
2,0	300	0,085	253,990223	254,478080	253,503536
	586,873202	587,695437	586,052683

Откуда .

Тогда ;

.

Для того, чтобы найти точные значения модифицированной дюрации и модифицированной выпуклости облигации, необходимо решить уравнение

.

Так как , то

. ■

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

3.2.1. Какова верхняя граница величины дюрации любой облигации?

3.2.2. Как зависит величина дюрации облигации от ее годовой внутренней доходности?

3.2.3. Как зависит величина дюрации облигации от купонной ставки облигации?

3.2.4. Определите модифицируемую дюрацию и модифицируемую выпуклость облигации.

3.2.5. Напишите зависимость относительного изменения стоимости облигации через модифицируемую дюрацию и модифицируемую выпуклость этой облигации.

3.2.6. Выпишите формулы приближенного вычисления модифицируемой дюрации и модифицируемой выпуклости облигации при малом изменении ее годовой внутренней доходности.

З А Д А Ч И

3.2.1. Дана облигация c потоком платежей:

Срок, годы	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Платеж, долл.	4	4	5	5	5	100

Определите дюрацию и выпуклость облигации, если годовая внутренняя доходность облигации при непрерывном начислении процентов принимает значения: 6, 8, 10%.

3.2.2. Дана 5-летняя купонная облигация, купоны по которой оплачиваются ежегодно. Найти дюрацию и выпуклость облигации, если ее годовая внутренняя доходность равна 8%, а купонная ставка принимает значения: 6, 7, 8, 9 и 10%.

3.2.3. Дана 3-летняя облигация с полугодовыми купонами. Годовая внутренняя доходность облигации равна 6%. Найти дюрацию и выпуклость облигации, если купонная ставка принимает значения: 4, 5, 6 и 7%.

3.2.4. Дана купонная облигация с полугодовыми купонами по ставке 10%. Годовая внутренняя доходность облигации равна 6%. Определите дюрации облигации, когда до ее погашения остается лет, . Зависимость дюрации от срока погашения изобразите на рисунке.

3.2.5 Облигация имеет годовую внутреннюю доходность при начислении процентов четыре раза в год, равную 6%, и поток платежей:

Срок, годы	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0
Платеж, долл.	4	10	4	10	110

Определить модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость облигации.

3.2.6. Для величины определить приближенно модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость облигации из задачи 3.2.5.

3.2.7. Определить относительные изменения цены облигации при увеличении внутренней доходности на 20 б. п. и при уменьшении ее на 40 б. п., если модифицированная дюрация и модифицированная выпуклость равны 5 лет и 25 лет2 соответственно (1 б. п. равен 100%).

3.2.8. Для величины определите точно и приближенно модифицированную дюрацию и модифицированную выпуклость 10%-ной облигации с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 4 года, если временная структура процентных ставок при начислении процентов имеет вид:

Срок, годы	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
Процентная ставка, %	6,0	6,5	6,7	6,8	7,0	7,5	8,0	8,5