Задания
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД
разных лет НГПУ и ФППД для студентов не математических специальностей и профилей
Задания пятой олимпиады НГПУ по математике
для студентов нематематических специальностей (2010]
1. В алфавите племени Тумба-Юмба буквы а, о, и, е, у. Сколько слов в словаре племени, если букв в слове не более 5, и любые две соседние буквы слова различны?
2. Двое ходят по очереди, приплюсовывая к записанной сумме любое число от 1 до 6. Какова выигрышная стратегия, если начинает с нуля и выигрывает тот, кто первым получает в сумме 77. И кто выигрывает при правильной стратегии - первый или второй?
3. Найдите все квадраты натуральных чисел, которые можно представить в виде суммы п!+5п+3, где п - натуральное число.
4. Студентки Лена и Оля назначили встречу между 14 и 15 часами и договорились ждать по 15 минут. Какова вероятность встречи Оли и Лены?
5. На одной стороне улицы живут честные люди, а на другой - лгуны. Как сформулировать вопрос первому встречному жителю этой улицы, на который, будет получен ответ Да или Нет, чтобы узнать, на какой стороне живут честные люди?
6. Известно, что f(f(f(x)))=2010x+l. Найдите f(-5).
7. Найти значения параметра а, при которых уравнение -= х2+а имеют ровно два различных корня?
Задания четвертой олимпиады НГПУ по математике для студентов нематематических специальностей (2009 год)
1. Расставить в записи 7777777 в нужном месте скобки и знаки арифметических операций, чтобы в результате получилось число 2009
2. Коэффициенты р и q уравнения х2 + рх + q = 0 случайным образом выбраны из отрезка [0;1]. Какова вероятность того, что это уравнение имеет действительные корни?
3. Натуральные числа 1, 2, 3... записаны в строку без пробелов. Какая
цифра стоит на 2014-ом месте в этой записи?
4. На земле в точках А и В воткнуты колышки. Как с помощью
нерастяжимой нити и карандаша построить прямой угол CAB, воткнув
колышек С?
5. Доказать векторным способом, что диагонали ромба взаимно
перпендикулярны.
6. Доказать, что сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
7. Мотоциклист преодолел подъём длиной 5 км со средней скоростью 50км/ч. С какой средней скоростью он должен преодолеть спуск длиной в 12 км, чтобы средняя скорость на всём пути равнялась 60 км/ч?
8. При делении некоторого числа на 3, 6 и 9 получаются остатки, сумма которых равна 15. Какой остаток может давать это число при делении на 18?
9. При каких значениях параметра а неравенство 2a + 1 < x < 8a имеет единственное целое решение?
1. Чему равна сумма цифр в десятичной записи числа 22009 · 520013 ?
2. Назовите несколько делителей числа 837409В20(12), записанного в 12-ричной системе счисления?
3. Два человека садятся в электричку, в которой 10 вагонов. С какой вероятностью они окажутся в одном вагоне?
4. Решить в целых числах уравнение x2 – y2 = 2008.
5. Сколько корней имеет уравнение x5 = 1,05x ?
6. Часы показывают ровно три часа. Через какое время стрелки часов снова будут составлять прямой угол? Нужно дать точный ответ (в минутах).
7. Из 21 монеты одна фальшивая. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить, легче она или тяжелее настоящих?
8. В гараже 40 автомобилей трех типов: грузовые, легковые и автобусы. Известно, что автобусов меньше, чем легковых, а легковых в 12 раз меньше, чем грузовых автомобилей. Найти число автомобилей каждого вида?
9. Укажите на поверхности Земли точки А с таким свойством: если из точки А пройти 100 км на юг, потом повернуть под прямым углом и пройти 100 км на восток, затем 100 км на север, то окажешься в точке А?
10. Один параллелограмм лежит внутри другого. Может ли сумма длин диагоналей внутреннего параллелограмма быть больше суммы длин диагоналей внешнего параллелограмма?
1. Пусть S сумма цифр числа a, Т – сумма цифр числа b.
Докажите, что, если число S + Т делится на 9, то и число a + b делится на 9.
2. Оля готовится к зачету по математике. За ответ на каждый из вопросов можно получить 0, 1, 2, 3 или 4 балла. Оля подсчитала, что, если за половину вопросов она получит по 3 балла, а за оставшуюся половину по 2 балла, то этого как раз хватит, чтобы получить зачет. Если же она за треть заданий получит по 4 балла, а за оставшиеся задания по 3 балла, то она наберет на 10 баллов больше, чем достаточно для получения зачета. Сколько вопросов составляет зачетная работа? Какое минимальное количество баллов достаточно для получения зачета?
3. Решите систему уравнений:
4. В прямоугольной трапеции АВСD углы А и В – прямые. Известно, что BC = q, AD = r, CD = q + r. Пусть Т – точка пересечения биссектрис углов С и D. Найти все высоты треугольника ТСD.
5. Катя и Миша играют в игру. Перед началом игры на доске написано число 1. За один ход разрешается умножить записанное число на любое натуральное число от 2 до 9. Первой ходит Катя, далее ходят по очереди. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее тысячи. Кто из ребят выиграет при правильной игре? Укажите выигрышную стратегию?
6. Несколько друзей устроили шахматный турнир по круговой системе (каждый сыграл с каждым по одному разу). Известно, что среди участников турнира девочек было в 3 раза меньше, чем мальчиков. После завершения турнира оказалось, что ничьих не было, а число очков, набранных всеми мальчиками, оказалось равным числу очков, набранных девочками. Кто победил на турнире – мальчик или девочка?
6. Какое число больше 892 или 3180 ?
