Методические указания (стр. 1 )

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра компьютерных интеллектуальных технологий

проектирования

Методические указания

для контрольной работы

по дисциплине «Вероятность и статистика»

для студентов специальности 230202

«Информационные технологии в образовании»

заочной формы обучения

Воронеж 2009

Составители ст. преп.

ассистент

УДК 004.9

Методические указания для контрольной работы по дисциплине «Вероятность и статистика» для студентов специальности 230202 «Информационные технологии в образовании» заочной формы обучения / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. , . Воронеж, 2009. 59 с.

В данных методических указаниях изложены вопросы для самостоятельного изучения теоретической части по основным темам курса.

Предназначены для студентов 2 курса.

Ил. 3. Библиогр.: 10 назв.

Рецензент канд. техн. наук

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009

ВВЕДЕНИЕ

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Контрольная работа выполняется в тетради в клетку. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть указаны фамилия, имя, отчество студента, шифр группы, название дисциплины. В начале работы указывается вариант контрольной работы. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись студента.

3. В работу включаются все задачи, указанные в заданиях, и строго по положенному варианту.

4. Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно, объясняются все действия по ходу решения.

5. После получения проверенной работы исправляются все отмеченные рецензентом ошибки.

6. Выбор варианта контрольной работы производится по двум последним цифрам номера зачетной книжки в соответствии со следующей таблицей.

Предпоследняя цифра x совпадает с одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8	Предпоследняя цифра x совпадает с одной из цифр: 1, 3, 5, 7, 9
х1 – 1-й вариант х2 – 2-й вариант х3 – 3-й вариант х4 – 4-й вариант х5 – 5-й вариант х6 – 6-й вариант х7 – 7-й вариант х8 – 8-й вариант х9 – 9-й вариант х0 – 10-й вариант	х1 – 11-й вариант х2 – 12-й вариант х3 – 13-й вариант х4 – 14-й вариант х5 – 15-й вариант х6 – 16-й вариант х7 – 17-й вариант х8 – 18-й вариант х9 – 19-й вариант х0 – 20-й вариант

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ познакомит студентов с различными примерами вероятностных моделей случайных явлений (экспериментов): классической вероятностной моделью, геометрическими вероятностями, схемой испытаний Бернулли, простейшим потоком событий. Научатся студенты вычислять вероятности случайных событий (суждений о результатах случайного эксперимента) используя вероятности так называемых элементарных исходов или используя формулы, позволяющие по вероятностям отдельных событий находить вероятности их комбинаций. При этом познакомятся с важнейшим понятием теории вероятностей — понятием независимых случайных событий. Научатся анализировать случайные величины (обобщенные числовые характеристики случайного эксперимента), находя их распределение (вероятностное описание) или некоторые усредненные характеристики, такие, как математическое ожидание и дисперсия. Научатся находить характеристические функции случайных величин и по ним — математическое ожидание и дисперсию. Научатся вычислять вероятности, связанные с суммами большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин.

1. Некоторые сведения из комбинаторики

1.1. Размещения

Рассмотрим простейшие понятия, связанные с выбором и расположением некоторого множества объектов.

Подсчет числа способов, которыми можно совершить эти действия, часто производится при решении вероятностных задач.

Определение. Размещением из n элементов по k (k£n) называется любое упорядоченное подмножество из k элементов множества, состоящего из n различных элементов.

Пример 1.1. Следующие последовательности цифр являются размещениями по 2 элемента из 3 элементов множества {1;2;3}: 12, 13, 23, 21, 31, 32.

Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их составом. Размещения 12 и 21 содержат одинаковые цифры, но порядок их расположения различен. Поэтому эти размещения считаются разными.

Число различных размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле:

,

где n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n (читается «n – факториал»).

Число двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3 при условии, что ни одна цифра не повторяется равно: .

1.2. Перестановки

Определение. Перестановками из n элементов называются такие размещения из n элементов, которые различаются только расположением элементов.

Число перестановок из n элементов Pn вычисляется по формуле: Pn=n!

Пример 1.2. Сколькими способами могут встать в очередь 5 человек? Количество способов равно числу перестановок из 5 элементов, т. е.

P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120.

Определение. Если среди n элементов k одинаковых, то перестановка этих n элементов называется перестановкой с повторениями.

Пример 1.3. Пусть среди 6 книг 2 одинаковые. Любое расположение всех книг на полке - перестановка с повторениями.

Число различных перестановок с повторениями (из n элементов, среди которых k одинаковых) вычисляется по формуле: .

В нашем примере число способов, которыми можно расставить книги на полке, равно: .

1.3. Сочетания

Определение. Сочетаниями из n элементов по k называются такие размещения из n элементов по k, которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.

Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле: .

По определению 0!=1.

Для сочетаний справедливы следующие свойства:

1. 3.

2. 4.

Пример 1.4. Имеются 5 цветков разного цвета. Для букета выбирается 3 цветка. Число различных букетов по 3 цветка из 5 равно: .

2. Случайные события

2.1. События

Познание действительности в естественных науках происходит в результате испытаний (эксперимента, наблюдений, опыта).

Испытанием или опытом называется осуществление какого-нибудь определенного комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).

Таким образом, событие рассматривается как результат испытания.

Пример 2.1. Бросание монеты – это испытание. Появление орла при бросании – событие.

Наблюдаемые нами события различаются по степени возможности их появления и по характеру их взаимосвязи.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.

Пример 2.2. Получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

Пример 2.3. Извлечение из урны белого шара, в которой находятся лишь цветные (небелые) шары, есть событие невозможное. Отметим, что при других условиях опыта появления белого шара не исключается; таким образом, это событие невозможно лишь в условиях нашего опыта.

Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами A, B,C... Достоверное событие обозначим буквой W, невозможное – Ø.

Два или несколько событий называются равновозможными в данном испытании, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным или менее возможным, чем другие.

Пример 2.4. При одном бросании игральной кости появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков - все это события равновозможные. Предполагается, конечно, что игральная кость изготовлена из однородного материала и имеет правильную форму.

Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из них исключает появление другого, и совместными в противном случае.