ПРОГРАММА*
кандидатского экзамена по специальности
01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика»
по физико-математическим наукам.
I. Вероятностные меры
1. Алгебры и сигма-алгебры [1, гл. 2, §2.1]. Конечные и бесконечные измеримые пространства. Теорема Каратеодори о продолжении мер [2, §10-13].
2. Примеры наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств. R, R1, Rn, R¥ [1, гл. 2, §2.2-2.4)].
3. Построение вероятностной меры в R¥. Теорема Колмогорова [1, гл. 2, §3]. Схема Бернулли с бесконечным числом испытаний [1, гл. 2, §1]. Гауссовские последовательности [1, гл. 2, §13].
4. Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова [1, гл. 2, §1].
5. Измеримые функции [1, гл. 2, §4]. Равномерная сходимость, сходимость почти всюду и сходимость по мере [1, гл. 2, §10; 9].
6. Определение интеграла Лебега и его связь с интегралом Лебега-Стилтьеса в R1 [1, гл. 2, §6.1-6.4, §6.9, §6.11].
7. Мера, определяемая с помощью интеграла Лебега [1, гл. 2, §6.8]. Производная Радона-Никодима [2, §28-31].
8. Произведения мер. Теорема Фубини [1, гл. 2, §6.10].
9. Пространства L1 и L2 и их характеристики [1, гл.2, §10-11].
10. Сходимость в среднем [1, гл. 2, §10.1]. Ортогональность или некоррелированность случайных величин [1, гл. 2, §11.1-11.2]. Проекция случайной величины на подпространство, порожденное другими случайными величинами. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта [1, гл. 2, §11.3-11.4].
11. Независимости событий и сигма-алгебр [1, гл. 1, §3.4; гл. 2, §2, лемма 4]. Условные вероятности и условные математические ожидания [1, гл. 2, §7.1-7.7].
II. Случайные величины и распределения в Rn
1. Определение и основные свойства функции распределения [1, гл. 2, §3.1] и характеристической функции случайных величин [1, гл. 2, §12.1-12.3]. Формулы обращения [1, гл. 2, §12.5], равенство Парсеваля. Теорема непрерывности [1, гл. 3, §3.2].
2. Центральная предельная теорема [1, гл. 3, §4.1-4.2]. Теорема Берри-Эссеена [1, гл. 3, §11; 3, т. 2, гл. 16, §3, §5].
3. Безгранично делимые распределения: определение, свойства, примеры. Представление Леви-Хинчина логарифма характеристической функции безгранично делимого закона (без доказательства) [1, гл. 3, §6; 11; 12, гл. 2].
4. Вероятности больших уклонений сумм независимых случайных величин [4, гл. 8, §8].
III. Последовательности случайных величин
1. Закон "нуля или единицы". Теоремы Бореля и Колмогорова [1, гл. 4, §1.1-1.3].
2. Усиленный закон больших чисел для независимых случайных величин. Теоремы Колмогорова [1, гл. 4, §2.1, §3].
3. Закон повторного логарифма для сумм независимых случайных величин [1, гл. 4, §4].
4. Стационарность и эргодичность случайных последовательностей. Теорема Биркгофа-Хинчина [1, гл. 5].
IV. Случайные процессы. Распределения в функциональных пространствах
1. Слабая сходимость, относительная компактность и плотность семейства вероятностных мер [1, гл. 3, §1.3-1.4, §2; 5, приложение 2].
2. Непрерывность и дифференцируемость случайной функции [6, §2.1; 7, гл. 4].
3. Процессы с независимыми приращениями [5, гл. 2, §1]. Пуассоновский процесс и его свойства [5, гл. 2, §2, гл. 6, §9]. Винеровский процесс и свойства его траекторий [5, гл. 2, §3, гл. 3].
4. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации случайного процесса (с доказательством) [6, §5.2].
5. Стохастический интеграл от неслучайной функции и его основные свойства [5, гл. 7, §1-7; 6, §2.2]. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса и его корреляционной функции [5, гл. 7, §8-12]. Теорема Бохнера-Хинчина [5, приложение 4].
6. Линейные преобразования стационарных процессов, интегрирование и дифференцирование [6, §4.2.3а]. Линейное прогнозирование [5, гл. 7, §15-20].
7. Гауссовские процессы. Теорема о существовании гауссовского процесса с заданной корреляционной функцией [5, гл. 2, §4-6].
V. Некоторые виды зависимости
1. Мартингалы и полумартингалы, теоремы об остановленном мартингале [5, гл. 4, §1-8]. Тождество Вальда [1, гл. 7, §2.1-2.3].
2. Теоремы о сходимости мартингалов [1, гл. 7, §4.1-4.3].
3. Цепи Маркова (с дискретным временем) [1, гл. 8, §1.1-1.2, §1.5-1.8], классификация состояний [1, гл. 8, §4-5], условия эргодичности [1, гл. 7, §6-7].
4. Процессы рождения и гибели: определение, условия эргодичности, предельные распределения, примеры [3, т.1, гл. 17].
5. Ветвящиеся процессы (с дискретным временем и одним типом частиц): определение, условия вырождения, предельные теоремы для числа частиц [5, гл. 4, §15; 10, гл. 8, §36; 13, гл. 1].
6. Cкачкообразные процессы [3, т. 2, гл. 10, §3; 7, гл. 7].
7. Марковские процессы [5, гл. 6, §1-3, §5-12] и полугруппы [6, §10.1.1-10.1.5]. Уравнения Колмогорова [6, §11].
VI. Стохастические уравнения и диффузионные процессы
1. Стохастический интеграл [5, гл. 8, §1-11; 6, §12.1]. Формула Ито [6, §12.2].
2. Существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений [5, гл. 8, §15-17].
3. Исследование распределений функционалов от диффузионных процессов с помощью дифференциальных уравнений [7, гл. 8, §4].
VII. Элементы математической статистики
1. Достаточные статистики и сигма-алгебры [8, гл. 2, §12]. Критерий факторизации [8, приложение 4].
2. Полнота семейств распределений [8, гл. 2, §14.3 (определение)]. Экспоненциальные семейства [8, гл. 2, §15]. Теорема Рао-Блекуэлла-Колмогорова [8, гл. 2, §14]. Использование для построения наилучшей несмещенной оценки [8, гл. 2, §14].
3. Несмещенность [8, гл. 2, §7.1]. Несмещенные оценки с наименьшей дисперсией [8, гл. 2, §8 (определения)]. Неравенство Рао-Крамера [8, гл. 2, §16.1].
4. Метод максимального правдоподобия [8, гл. 2, §6]. Асимптотические свойства оценок максимального правдоподобия [8, гл. 2, §23-25].
5. Простая гипотеза. Критерий для проверки простых гипотез. Ошибки 1-го и 2-го родов. Мощность критерия. Лемма Неймана-Пирсона. Примеры [10, гл. 14, §52-54].
Литература
[1] Вероятность. М.: МЦНМО, 2004.
[2] Халмош П. Теория меры. М.: Факториал Пресс, 2003.
[3] Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.
[4] Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
[5] , Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.
[6] Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
[7] , Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.
[8] Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
[9] , Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
[10] Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982.
[11] , Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: ГТТИ, 1949.
[12] Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Физматлит, 1987.
[13] Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966.
[14] Энциклопедия "Вероятность и математическая статистика" / Под ред. . М.: Российская энциклопедия, 1999.
* Настоящая программа представляет собой уточненный и развернутый вариант программы-минимум кандидатского экзамена по специальности, утвержденной ВАК и введенной с 1 июля 2004 года.
