Понятие функции двух переменных. Область определения (стр. 2 )

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное

Пример1.Найти производную функции

Метод наименьших квадратов

В различных исследованиях приходится использовать формулы, составленные на основании эксперимента. Одним из лучших способов получения таких формул является метод наименьших квадратов.

Пусть на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между двумя переменными величинами х и у. Например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. По результатам измерений составим следующую таблицу:

х	х1	х2	…	хi	…	xn
у	у1	у2	…	yi	…	yn

Установим теперь вид функции у=f (x) по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек. Пусть, например, точки, взятые из таблицы, расположены так, как показано на рис.2222 . В данном случае естественно предположить, что между х и у существует линейная зависимость, выражающаяся формулой

y = ax + b (1)

Ограничимся только случаем линейной зависимости.

Так как точки (х1 ; у1), (х2 ; у2),….,( хn ; уn ) не лежат точно на прямой, а лишь вблизи нее, то формула (1) является приближенной. Поэтому, подставляя значения координат точек в выражение у – (ах+b), получаем равенства у1 – (ах1 + b ) = δ1, у2 – (ах2 + b ) = δ2,…, уn – (axn + b) = δn,

где δ1, δ2,…., δn – некоторые числа, которые назовем погрешностями.

Поставим задачу подобрать коэффициенты а и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньше по абсолютной величине. Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. Рассмотрим сумму квадратов погрешностей.

Здесь хi и yi – заданные числа, а коэффициенты а и b – неизвестные числа, подлежащие определению, исходя из условий минимума S(a, b), т. е. S(a, b) можно рассматривать как функцию двух переменных a и b и исследовать ее на экстремум.

Таким образом, задача свелась к нахождению значений а и b, при которых функция S(a, b) имеет минимум. Имеем

Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

(2)

Система (2) называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из этой системы находим числа a и b и затем, подставляя их в уравнение (1) , получаем уравнение искомой прямой.

Тот факт, что функция S ( a, b ) в найденной точке М (a; b) имеет минимум, легко устанавливается с помощью частных производных второго порядка. Имеем

Следовательно,

Это выражение можно записать в виде откуда следует, что Δ>0. Так как то в точке М (a; b) функция S (а, b) имеет минимум.

Индивидуальные задания.

1.  Найти и изобразить области существования функций:

1. а) z = x + arccos y; б) z = ln ( x2 + y ).

2. а) z = ; б) z = arcsin .

3. а) z = ; б) z = .

4. а) z = arccos ( x2 + y2); б) z = .

5.  а) z = arcsin ; б) z = ln ( x + y).

6.  а) z = ; б) z = .

7.  а) z = ; б) z = ln(–x + y ).

8.  a) z = ; б) z =

9.  a) ; б) z = arcsin ( x + y).

10.  a) ; б)

11.  a) ;

12.  а) ;

13.  а) ;

14.  а)

15.  a)

16.  а) ;

17.   

2.  Проверить тождество:

1. если

2. если

3. если

4. если

5. если

6. если

7. если

8. если

9. если

10. , если

11. , если

12. если

13. если

14. если

15. + если

16. + если

17. – если