Понятие функции двух переменных. Область определения (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

1. Понятие функции двух переменных.

Область определения

Переменная величина z называется функцией двух переменных величин x и y, если каждой паре допустимых значений x и y соответствует единственное значение z. Функция двух переменных обозначается символом: z = f (x, y) или z = z( x, y).

Систему значений x и y называют точкой М( x, y), а функцию двух переменных – функцией точки z = f (М).

Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в пространстве.

Значение функции z = f (x, y) при x = a, y = b обозначается через

f ( a, b).

Совокупностью всех точек, в которых определена функция двух переменных, называется областью существования или областью определения функции и является некоторая часть координатной плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями ( или вся плоскость).

Пример1. Найти область определения функций:

1) z = ; 2) z = ; 3 ) z = ln ( x + y) ; 4) z = .

Решение: 1) Данная функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т. е. xy ≥ 0. Это возможно в двух случаях: 1) x, y ; 2) x, y. Первому условию удовлетворяют координаты всех точек, лежащих в первой четверти и на координатных осях, второму – координаты точек, лежащих в третьей четверти и на координатных осях. Следовательно, область определения – совокупность точек, расположенных в первом и третьем координатных углах и на координатных осях.

2) Функция определена, когда подкоренное выражение положительно, т. е. 9 – x2 – y2 > 0 или x2 + y2 < 9. Последнему неравенству удовлетворяют точки, лежащие внутри круга радиуса R =3 (граничные точки исключаются). Область определения функции – совокупность точек, лежащих внутри круга радиуса R = 3 с центром в начале координат.

3)

Линией уровня функции z = f (x, y) называется геометрическое место точек плоскости xOy, для которых данная функция имеет одно и тоже значение: уравнение линии уровня есть f (x, y) = с.

Пример 2.Построить линии уровня данных функций:

1) z = x y; 2) z = x2 – y2 ; 3) z = .

2. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных

Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.

Для функции z = f (x, y) по определению имеем:

= (x , y) = (частная производная по x),

(частная производная по y).

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другой аргумент постоянным.

Полный дифференциал функции z = f (x, y) вычисляется по формуле

dz = .

Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение: Считая y постоянной и дифференцируя z как функцию x, получаем частную производную по x:

Аналогично, считая x постоянной и дифференцируя z как функцию y, получаем частную производную по y:

3. Дифференцирование неявных функций

Функция двух переменных называется неявной, если она задана уравнением

F (x , y, z) = 0,

не разрешенным относительно z.

Производные неявной функции находятся по формулам:

Пример1. Найти частные производные от функции заданной неявно:

4. Экстремум функции двух переменных

Максимумом (минимумом) функции z = f (x, y) называется такое ее значение f (x0, y0), которое больше (меньше) всех других значений, принимаемых ею в точках, достаточно близких к точке M0 (x0, y0) и отличных от нее.

Максимум или минимум функции называется ее экстремум. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Экстремум функции может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Такие точки называются критическими. Для функции z = f (x, y) критические точки находятся из системы уравнений:

Условия являются необходимыми условиями экстремума. Достаточные условия экстремума выражаются с помощью определителя

где

А = fxx¢(x0 , y0), B = fxy (x0 , y0), C = fyy¢(x0 , y0),

а именно:

1) если >0, то M0 (x0, y0) – точка экстремума: при А<0 ( или C<0) – точка максимума, при A>0 (или C >0) – точка минимума,

2) если <0, то в точке M0 нет экстремума.

Если = 0, то вопрос о наличии или отсутствии экстремума функции остается открытым ( требуется дальнейшее исследование функции).

Пример1. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 + 9xy.

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

fx ( x, y) = 3x2 + 9y; fy ( x, y) = 3y2 + 9x;

fxx ( x, y) = 6x; fxy ( x, y) = 9; fyy ( x, y) = 6y.

Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения критических точек:

Решая систему находим две критические точки М1 (0, 0), М2 ( –3, –3).

Вычисляем значения частных производных второго порядка в этих точках:

А1 = ( 0, 0) = 0, B1 = fxy ( 0, 0) = 9, C1 = fyy ( 0, 0) = 0,

A2 = fxx (–3, –3) = –18, B2 = fxy (–3, –3) = 9, C2 = fyy (–3,–3) = –18.

Затем находим определитель:

В силу достаточных условий заключаем, что в точке М1 нет экстремума, так как < 0, а в точке М2 функция имеет максимум, так как > 0 и

А2 < 0, причем

max f ( x , y) = f (–3, –3) = 27.

5. Производная в данном направлении. Градиент функции.

Производной функции в точке в направлении вектора называется предел

Если функция дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле

где – угол, образованный вектором с осью Оx.

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, имеющим своими координатами частные производные функции z: