Множества, отображения, логика (стр. 10 )

 

Прокл Диадох (якобы ок.410, Константинополь,— 485, Афины) — византийский математик и философ. Дал обзор истории геометрии от Фалеса до Евклида. Сформулировал и пытался доказать V постулат Евклида.

Вот что пишет [ История античной эстетики. Т.7. Кн.1.— М.: 1988.— 414 с.] о неоплатонике Прокле: «Прокл является поклонником триады, энтузиастом триады, постоянным воспевателем триады и её восторженным, неистовым служителем, певцом, жрецом, мистагогом... Философская эстетика Прокла есть священный трепет перед триадами».

 

 

Сноски

 

[1] Строго говоря, система аксиом должна удовлетворять трем требованиям: непротиворечивость, независимость, полнота. Система аксиом называется внутренне непротиворечивой, если в ней не существует двух взаимно отрицающих утверждений А и не А. Чтобы доказать внутреннюю непротиворечивость аксиоматики, необходимо иметь список всех утверждений теории. Однако такого списка практически нет, поэтому вместо внутренней приходится ограничиваться содержательной непротиворечивостью аксиоматики. Система аксиом называется содержательно непротиворечивой, если существует модель (в известной уже теории, например, в арифметике), на которой выполняются все аксиомы. Независимость системы аксиом означает, что никакую ее аксиому невозможно вывести как теорему из остальных аксиом. Чтобы доказать, что данная аксиома А не зависит от остальных аксиом, достаточно построить модель, на которой выполняются все остальные аксиомы и отрицание Ā аксиомы А. Так поступил (1.12.1792, Нижний Новгород,— 24.2.1856, Казань) при решении проблемы V постулата Евклида, в надежде понять, встретятся ли при этом антиномии типа А и Ā. Нигде не получив логических противоречий, Лобачевский в 1826 пришел к убеждению, что открытая им новая геометрия столь же непротиворечива, как и евклидова геометрия. Трагедия — не для Лобачевского, а для тех, кто его окружал и пытался понять его неевклидовы идеи — была в том, что он был в полушаге от доказательства непротиворечивости новой аксиоматики: он построил внутри своей новой геометрии модель евклидовой геометрии, строго доказав, что на орисфере выполняются все аксиомы евклидовой планиметрии. Но ему не удалось построить модель новой геометрии внутри евклидовой. Это сделали другие геометры — Эудженио Бельтрами (Италия, 1868), Артур Кэли (Англия, 1870), Феликс Клейн (Германия, 1871), Анри Пуанкаре (Франция, 1882) — через много лет после смерти Лобачевского.

В 1931 г. К. Гёдель доказал, что если теория непротиворечива и аксиомы формализованной арифметики суть теоремы этой теории, то теория не полна.

Математика в середине 20-го века упорно пробиралась через выжженные пустыни аксиоматических теорий, уходя порой так далеко в сторону от плодоносящей и животрепещущей практики, что никто уже не понимал, зачем это надо. В инженерной практике применяется методология 16 – 18 веков: без строгого аксиоматического аппарата строят математическую модель и средствами вычислительной математики находят решение с той или иной точностью. В связи с этим, а также в связи с появлением мощного вычисляющего инструмента в виде компьютера математики пересматривают свои позиции относительно взаимоотношения теории и практики (не забывая и о том, что нет ничего практичнее хорошей теории).

 

[2] В то же время следует признать наличие в математике теорем, которые не доказаны, но эти теоремы принимаются в виде достаточно правдоподобных гипотез. Это связано не с тем, что гипотеза не может быть доказана в принципе, а с тем, что сущность этой теоремы очень глубокая, и что рано или поздно кто-то эту теорему-гипотезу докажет или опровергнет. В одних случаях справедливость теоремы-гипотезы не вызывает сомнения, так как подтверждена многочисленными примерами (гипотеза Римана), в других случаях приходится доверять авторитету автора гипотезы (гипотеза Пуанкаре).

 

[3] Тем не менее, в математике есть много теорем, которые не имеют непосредственного практического приложения, — они нужны лишь для внутреннего развития математики — для доказательства других теорем. Это нормальное явление для математики, которая развивается в соответствии с законами мышления; ее результаты используют:

·         сама математика для саморазвития сущности математического знания,

·         научное знание о природе, обществе и мышлении,

·         инфраструктура и жизнедеятельность общества.

 

[4] Всякое действительное число представимо бесконечной десятичной дробью: рациональное — периодической дробью, иррациональное — непериодической.

 

[5] Классификацию порождает тройка:

Классификация = [множество М Å отношение ~ эквивалентности Å факторизация].

Результатом факторизации является фактор-множество М / ~. Отношение эквивалентности играет важнейшую роль при классификации элементов произвольной природы.

 

[6] Главная цель применения в логике математической символики заключалась в том, чтобы свести операции с логическими заклю­чениями к формальным действиям над символами. При этом исход­ные положения записываются формулами, которые преобразуются по определенным законам, а полученные результаты истолковываются в соответствующих понятиях.

Бурное развитие математической логики связано, прежде всего, с задачами обоснования математики, где она используется для доказательства непротиворечивости исходных понятий и правиль­ности рассуждений и выводов математических теорий. Некоторые ученые даже склонны рассматривать логику как одну из наиболее общих наук, частью которой является сама математика.

В последние десятилетия логика находит все более широкое применение в технике при исследовании и разработке микросхем, компьютеров, дискретных автоматов. Ее методы используются в теории преобразования и передачи ин­формации, теории вероятностей и комбинаторном анализе. Матема­тическая логика начинает внедряться в такие нематематические области, как экономика, биология, медицина, психология, языко­знание, право. Интенсивно развиваются специальные разделы математической логики, призванные обслуживать конкретные об­ласти науки и техники.

Столь энергичный выход математической логики за пределы математики объясняется тем, что ее аппарат легко распространяется на объекты самой общей природы, лишь бы только они характери­зовались конечным числом состояний.

Двузначная логика имеет дело с такими объектами, которые при­нимают одно из двух возможных значений (истинное или ложное высказывание, намагниченная или размагниченная ячейка памяти винчестера в компьютере, наличие или от­сутствие заданного признака у объекта и т. п.). Объекты, которые могут принимать значения из конечного множества, содержащего больше двух элементов, называют многозначными. Они либо сво­дятся каким-нибудь способом к двузначным объектам, либо обслу­живаются аппаратом многозначной логики. В биологической математике применяется четырехзначная логика для описания кодов и кодонов в генах.

Устоявшееся представление о математической логике как науке, изучающей законы мышления с применением аппарата математики, главным образом, для нужд самой математики, в современных усло­виях становится слишком узким. С расширением областей приме­нения и дальнейшим развитием математической логики изменяется и взгляд на нее. Объектами математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача — структурное моделирование таких систем.