Множества, отображения, логика (стр. 2 )

2.10. Пример. Пусть А — множество дней недели, т.е. А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В = {a, b, g} — множество студентов, работающих на данном компьютере. Тогда

.

Так как , , то мы подмечаем, что . Это частное наблюдение позволяет перейти к правилу произведения, которое справедливо для конечных множеств:

. ■

2.11. Пересечением множеств А и В называется множество

A ∩ B = {x | x Î A и x Î B}.

Говорят, что множества А и В не пересекаются, если их пересечение пусто: A ∩ B = Æ.

2.12. Объединением множеств А и В называется множество

A ∪ B= {x | x Î A или x Î B}.

2.13. Разностью множеств А и В называется множество

= {x | x Î A и x Ï B}.

2.14. Дополнение. В частности, если В Ì I, то разность  называется дополнением множества В до множества I и обозначается  или просто , (иногда  или ) когда из контекста ясно объемлющее множество I, называемое еще универсумом.

2.15. s-алгебра. Сигма-алгеброй (s-алгеброй) называют непустую систему B подмножеств некоторого множества I, удовлетворяющую следующим двум условиям.

1.     Если А Î B, то  Î B.

2.     Если А1, А2, …, Аn, …Î B, то

А1 ∩ А2 ∩ …∩ Аn ∩ …ÎB ,

А1 ∪ А2 ∪ …∪ Аn ∪ …ÎB.

Поскольку А ∪ = I и , то I, Æ Î B.

Примечание: s-алгебра лежит в основе аксиоматического построения теории вероятностей, в которой событиями называются элементы s-алгебры.

 

Упражнения и задачи

 

2.1. Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?

а) Æ Î {1, 2}; б) {Æ} Î {Æ, 1, 2}; в) Æ Î {Æ, 1, 2}; г) | Æ | = |{Æ}|; д) | P (P (Æ)) | = 2; е) {1, 2} Î {0, 1, 2, {1, 2}}; ж) {1, 2} Ì {0, 1, 2, {1, 2}}, з) х Î {2, a, x}; и) 3 Î {1, {2, 3}, 4}; к) х Î {1, sin x}; л) a, b Î {{a, b}, {g, d}}; м) 1 Ì {1, {1}}, н) {nÎN | 2n + 3k = 12 для подходящих kÎN} = {3, 6}.

2.2. Перечислить все элементы множества P ({a, b, g}).

2.3. Верно ли, что А ∩ В Ì А ∪ В? Ответ обосновать.

2.4. Доказать, что для конечных множеств справедливо равенство

| A | + | B | = | A ∪ B | + | A ∩ B |.

2.5. Доказать, что | A \ B | = | A | – | A ∩ B | для любых конечных множеств.

2.6. Найти А ∩ В, А ∪ В, А\В, если А = {2k| k = 0..6} и B = {т2| т = 0 .. 8}.

2.7. Найти множество всех двухэлементных подмножеств множества W = {a, b, g}.

2.8. Привести примеры элементов из пересечения множества правил русского языка с множеством правил английского языка.

2.9. Известно, что W = {z, h, q}, пересечение L и W равно {h, x}, объединение W и L равно {z, h, q, x, y}. Найти множество L.

2.10. Дано множество D всех вертикальных прямых трехмерного евклидова пространства. Каким может быть множество X всех прямых, пересекающих данную прямую?

2.11. Найти пересечение С множества А решений уравнения х2 – 1 = 0 с множеством В решений уравнения 2х2 – 3х – 5 = 0. Совпадает ли С с множеством P решений системы  Совпадает ли С с множеством Q решений совокупности  Как связаны P, Q c A, B?

2.12. Приняв множество первых 20 натуральных чисел в качестве универсума, запишите следующие его подмножества: A — четных чисел, B — нечетных чисел, C — квадратов чисел, D — простых чисел. В каких отношениях находятся эти подмножества?

2.13. Запишите множества, полученные в результате следующих операций над множествами из задачи 2.12: А ∪ В, A ∩ В, А ∩ С, А ∩ D, C \ A, C \ B, C ∪ . Сформулируйте характеристические свойства каждого из полученных множеств.

2.14. Пусть М1 и М2 — соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а P — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.

а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые детали.

б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.

в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.

2.15. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче соотношений непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить?

2.16. Найти ошибку в следующей фразе: «Пусть Н — множество всех множеств, каждое из которых не содержит себя в качестве элемента. Выполнимо ли отношение Н Î Н?».

Решение. Если Н Î Н, то Н не должно содержать себя как элемент: Н Ï Н. Если Н Ï Н, то Н Î Н. Получившийся парадокс приходится устранять языковыми средствами: следует называть Н не множеством, а классом. Рассмотренный парадокс из той серии, к которой принадлежит парадокс о брадобрее: «Должен ли брадобрей брить себя, если он бреет только тех, кто сам не бреется?» и парадокс типа «Может ли Всемогущий создать такой камень, который он сам не сможет поднять?».

Задание 1. Даны множества А = {n Î Z| p £ n £ q}, В = {n Î Z| r £ n £ s} (табл. 1). На числовой прямой R изобразить множества А, В, А ∩ В, А ∪ В, А \ B, B \ A, а на числовой плоскости R2 — множество А ´ В.

Таблица 1
№	p	q	r	s	№	p	q	r	s	№	p	q	r	s	№	p	q	r	s	№	p	q	r	s
1	3	7	0	5	7	1	5	0	9	13	3	9	1	5	19	3	9	1	7	25	1	5	2	8
2	4	6	2	5	8	2	7	1	8	14	4	8	0	7	20	4	9	2	6	26	2	7	0	9
3	5	8	1	7	9	3	6	2	7	15	5	7	2	6	21	1	8	0	9	27	3	6	1	7
4	1	9	0	7	10	4	5	1	8	16	3	8	0	5	22	3	7	1	5	28	4	5	2	5
5	2	8	1	6	11	5	8	0	5	17	1	5	1	8	23	5	8	2	8	29	5	8	0	7
6	4	6	0	5	12	6	9	2	4	18	1	6	2	9	24	1	8	0	6	30	6	9	2	7