Как изучать математику

 

КАК ИЗУЧАТЬ МАТЕМАТИКУ

Даже беглого знакомства с программой достаточно, чтобы увидеть, сколь она обширна и многообразна. Между тем, практика показывает, что её успешное освоение вполне посильно студенту любого факультета Российского университета дружбы народов и главный секрет успеха на этом пути весьма прост. Необходимо с пониманием взрослого человека отнестись к добровольно принятой на себя обязанности учиться, то есть посещать все аудиторные занятия и регулярно выполнять домашние задания. Разумеется, всё это требуется при изучении всех университетских дисциплин. Быть может, математика отличается от других предметов лишь тем, что в ней в наибольшей степени все темы и все звенья учебного материала тесно взаимосвязаны и нельзя понять последующего без хорошего знания предыдущего. Пропуск хотя бы одного занятия, как и невыполнение лишь одного домашнего задания могут иметь далеко идущие негативные последствия. Глубоко ошибочна мысль, что пропущенное можно наверстать позже. Всякий оставшийся не разобранным вопрос с чрезвычайной быстротой (в геометрической прогрессии!) обрастает новыми неясностями, превращаясь сначала в не усвоенную тему, затем в непонятый раздел и в итоге - в непостижимую науку. Не делайте первого шага на этом фатальном пути!

Лекции (теоретическая часть курса)

Основополагающей формой учебной работы в университете являются лекции. Тщательно готовясь к каждой из них, продумайте и уясните предшествующий теоретический материал и решите все задачи, связанные с предыдущей лекцией. Познакомьтесь по плану с темой предстоящей лекции и, по возможности, просмотрите содержание соответствующих разделов учебника. Представляя заранее хотя бы в общих чертах фактический материал лекции, вы будете значительно легче воспринимать рассуждения лектора.
Настройте себя на то, чтобы внимательно и непрерывно следить за мыслью лектора, быть всё время вместе с ним. Пассивное прослушивание лекции и механическое записывание не обогатит вас и лишь приведёт

к бесполезно потраченному времени.

 

Если те или иные места в лекции покажутся

вам мало - убедительными или недостаточно

ясными, не откладывайте выяснение этих

мест; здесь же на лекции задайте вопросы

лектору.

 

 

 

Имейте в виду, что «математическое древо» едино и университетская высшая математика уходит своими корнями в школьную, так называемую элементарную математику. Не удивляйтесь тому, как часто во время лекции всплывают те или иные понятия, утверждения или формулы, которые предполагаются известными из школьного курса математики. Внимательно фиксируйте такие места и при необходимости освежите их в памяти при самостоятельной проработке теоретического материала.

 

Во время лекции постарайтесь усвоить основные новые идеи, но имейте в виду, что содержание каждой лекции - лишь отдельное звено всего курса и взаимная связь этих звеньев между собой и с предыдущим материалом выясняется не сразу. Это не должно смущать. Для того чтобы всё в целом и в подробностях стало ясным, нужно хорошо поработать и самому. Лекция призвана возбудить мысль, дать ей направление; окончательное понимание и закрепление понятого — дело вашего самостоятельного труда.

Запись лекции помогает сосредоточить внимание, но не превращайте запись лекции в самоцель. Нет никакой необходимости всё записывать дословно. Достаточно перенести в тетрадь лишь то, что лектор сам пишет на доске, сопровождая выкладки и чертежи краткими заметками, которые затем дадут возможность вспомнить мысли лектора, его замечания и ход рассуждений.

 

В любой момент, когда почувствуете, что записывание лекции связывает, мешает думать, лишает вас возможности следить за лектором - прекращайте запись. Внимательное, вдумчивое слушание лекции позволит вам без труда восстановить пропущенные в записях места.

После лекции, в тот же день, в крайнем случае, на следующий день, приведите в порядок свои записи. При проработке теоретического материала в дополнение к лекции полезно воспользоваться рекомендованным учебником. Вдумчивое чтение учебника уточняет и углубляет знание предмета и обогащает наш язык точными, научными формулировками.
При первом чтении записи лекций (или учебника) обращайте внимание главным образом на новые понятия или на новые идеи, не вдаваясь в детали вычислений. Читая вторично, все выкладки и чертежи выполняйте самостоятельно, как бы проходя тот путь, по которому шёл к выводу автор. Не стесняйтесь проговаривать вслух основные определения и теоремы, внимательно следите за правильностью формулировок. Если лекция сопровождалась примерами и упражнениями, следует ещё раз проделать их самостоятельно. В случае сомнений, неясностей и возникновения новых вопросов не постесняйтесь задать их в начале или в конце следующей лекции. Усвоив теоретический материал, вы будете значительно быстрее решать задачи, т.е. в итоге получится значительный выигрыш во времени. Обсуждайте лекции с товарищами, вообще беседуйте на математические темы, спорьте. Такие дискуссии повышают математическую культуру, развивают мысль и ту точность языка, которая необходима при формулировке и изложении математических предложений, и вообще своих мыслей по любым вопросам.
Встречая новое математическое понятие, постарайтесь, прежде всего, понять, откуда оно возникло, при решении каких вопросов появилась необходимость в этом понятии и как его введение позволяет решить эти вопросы; тогда это понятие, по сути, и его формальная сторона будут восприняты в их единстве, сознательно и основательно. Теоретическому материалу придавайте большое значение, придирчиво строго относитесь к доказательствам теорем, выводу формул и, вообще к логическому построению лекции. Внимательно следите за приводимыми примерами, подтверждающими или опровергающими те или иные утверждения или гипотезы. Примеры, как правило, проясняют суть дела, делают сделанные утверждения более «прозрачными», облегчают понимание вопроса. Старайтесь приводить собственные примеры. Всё это способствует не только математическому, но и вообще научному развитию, приучает к самостоятельному мышлению не только в математике, но и в предметах вашей основной специальности.

 

 

Рафаэль Санти, Афинская школа, 1511. 770×500 см2. Апостолический дворец, Ватикан

 

Семинары (практическая часть курса)

Не менее важной формой учебной работы по математике в университете служат семинары (практические занятия или упражнения) под руководством преподавателя. На семинарах продолжается ваша самостоятельная работа по уяснению теоретических положений и решению задач; раскрывается практическая сторона приобретаемых вами знаний. Успех занятий, прежде всего, зависит от вашей подготовленности к ним. Если вы придете на упражнение с достаточным числом решённых домашних задач и со знанием соответствующих разделов теории, то легко воспримете указания преподавателя, касающиеся общего метода решения задач данного типа.

 

Решая задачи высшей математики, часто приходится применять формулы и приёмы элементарной математики, например, тождественные преобразования, необходимые для того, чтобы в дальнейшем применить новые методы. Чётко фиксируйте такие места в своих записях и при необходимости освежите в памяти соответствующие разделы школьного курса математики.

 

Необходимо стремиться к тому, чтобы математические вычисления шли уверенно и бегло. Выписывание каждой детали преобразований, необходимое на первых порах, вовсе не обязательно в дальнейшем. По возможности, производите простые вычислительные операции в уме, не переписывая одно и то же по несколько раз. Такая беглость достигается, конечно, опытом; накопляя его, нужно стремиться к беглости в вычислениях, «культивировать» её. Без острой необходимости старайтесь не прибегать к калькулятору - «палочке-выручалочке», понижающей тонус собственной активности и, тем самым, затормаживающей ход мыслей и развитие памяти.

 

К самостоятельному решению задач приступайте только после того, как полностью овладели теоретическим материалом. Попытки решать задачи по формулам, не понимая их содержания, приводят к механическому усвоению курса. Студент, знающий одни только формулы, всегда окажется беспомощным в решении задачи, хотя бы немного отличающейся от стандарта.

Приступая к решению домашних заданий, начинайте с самых простых, постепенно переходя к более сложным заданиям. Обычно в задачнике задачи располагаются в порядке возрастания трудности; такой последовательности действий - от простого к сложному - и следует придерживаться (да и не только при изучении математики!). Иногда студент начинает с последних, наиболее трудных задач в расчёте на то, что, решив их, он будет избавлен от необходимости решения всех предшествующих и тем самым сэкономит себе время. Однако, на практике получается обратное. Не подготовленный к решению трудных задач студент тратит на них много времени и, в конце концов, бывает вынужден вернуться к более простым задачам. Вообще не рекомендуется тратить на отыскание решения задачи слишком много времени; при встрече с неожиданной непреодолимой преградой лучше всего отложить решение такой задачи до ближайшего семинара.

 

Нередко одну и ту же задачу можно решить разными способами; разобравшись в постановке задачи и правильно оценив её уровень трудности, постарайтесь найти наиболее простой способ решения.

 

Решив задачу, проверьте, насколько ваше решение отвечает поставленным условиям и согласуется с конкретным содержанием задачи. Не упускайте из виду и то обстоятельство, что задача, которая встретилась вам в одном разделе математики, иногда может быть сформулирована в других терминах и тогда она окажется как бы относящейся к другой области математики. Например, часто полученный алгебраический результат допускает геометрическое истолкование. Такой анализ интересен и чрезвычайно полезен. Он не только обогатит ваши знания, но и реально подведёт вас к пониманию внутреннего единства математики, что в дальнейшем, безусловно, расширит ваши возможности при применении математических методов в работе по основной специальности.
В заключение отметим, что умение решать типовые задачи различной степени трудности является основным критерием при оценке знаний, полученных по математике за первый семестр.

Желаем успеха!

 

Для того чтобы достигнуть успеха, мы должны не только действовать, но и мечтать, не только планировать, но и верить.

Верь своим мечтам!