Показательная функция. Показательные уравнения. Показательные неравенства (стр. 3 )

 

Обратная функция

 

Пусть X и Y заданные множества. Если определен закон, по которому каждому элементу x Î X соответствует определенный элемент y Î Y, то говорят, что задано отображение X ® Y или функция f : X ® Y ( y = f(x) ). Функция f : X ® Y называется взаимно однозначной, если каждый элемент y Î Y соответствует только одному элементу x Î X. В этом случае можно определить обратное отображение f -1: Y ® X. Отображение f -1: Y ® X называется обратным к отображению f : X ® Y, если каждому элементу y Î Y ставится в соответствие тот элемент x Î X, для которого y = f(x).

Область определения мы привыкли обозначать D, а область значений E. Пусть f : D(f) ® E(f) - взаимно однозначная функция, т.е. " x Î D(f) $ y Î E(f) и " x1, x2 Î D(f), x1 ≠ x2 Þ f(x1) ≠ f(x2). В этом случае существует обратное отображение f -1 : E(f) ® D(f). При этом записи x = f -1(y) и y = f(x) на плоскости определяют одно и то же множество точек. Если у обратного отображения x = f -1(y) аргумент обозначить x, а зависимую переменную y, то получим обратную функцию y = f -1(x), для которой D(f -1) = E(f ) и

E(f -1) = D(f ).

Если функция f -1 является обратной к функции f, то функция f  является обратной к функции f -1. Поэтому функции f  и f -1 называются взаимно обратными.

Не всякая функция имеет обратную. Например, функция

y = x4, D(f) = R, E(f) = [0; ¥) не имеет обратной.

Действительно, $ y Î E(f) соответствует два элемента из D(f).

Следовательно, обратное отображение однозначно не определяется.

 

Функция называется обратимой, если для нее существует обратная функция. Широкий класс обратимых функций образуют монотонные (возрастающие или убывающие) функции. Существуют немонотонные обратимые функции.

 

Пример. Найти обратную функцию для функции .

Решение. Область определения  - это множество . Заданная функция не является монотонной на нем. Действительно,  и, значит,  (функция не является убывающей). В то же время  (функция не является возрастающей). Однако можно определить однозначное обратное отображение формулой . Поменяв здесь местами x и y получим обратную функцию  для заданной функции f.

 

Отметим, что графики взаимно обратных функций  и  симметричны друг другу относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов.

Для взаимно обратных функций f и  имеют место равенства:

,

.

Логарифмическая функция

 

Показательная функция  является монотонной функцией на ее области определения. Это гарантирует существование обратной ей функции. Эта обратная функция обозначается так: .

Свойства логарифмической функции.

1. .

2. E(f)=R.

3. четность и нечетность не рассматривается, так как область определения не симметрическое множество.

4. Если a > 1, то функция возрастает на D.

Если 0 < a < 1, то функция убывает на D.

5. Множество точек  на плоскости логарифмическая кривая. Получается из графика функции  с помощью преобразования симметрии относительно прямой .

 

 

Логарифмические уравнения

 

Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма.

Простейшие логарифмические уравнения – это уравнения вида , . Его решение .

Логарифмические уравнения вида ,  эквивалентны одной из следующих систем:  или . Решать можно ту из двух систем, которая проще.

Если мы будем решать только уравнение , то могут появиться посторонние корни. Поэтому, в этом случае необходимо сделать проверку, подставив корни в исходное уравнение, либо отбросить те из них, которые не удовлетворяют неравенствам  или .

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений: 1) метод, заключающийся в преобразовании исходного уравнения к виду ; 2) метод введения новой переменной.

При решении логарифмических уравнений необходимо помнить свойства логарифмов.

 

Пример. Решить уравнение .

Решение. Так как , то . Отсюда . Сделаем замену: . Имеем .. Следовательно,  или . Отсюда .

Ответ: 3; 9.

 

Логарифмические неравенства

 

Логарифмические неравенства – это неравенства, содержащие неизвестную под знаком логарифма.

При решении неравенств вида  необходимо помнить, что логарифмическая функция возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Поэтому, такое неравенство эквивалентно системе  при a > 1 и системе  при 0 < a < 1.

При решении логарифмических неравенств необходимо помнить общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

 

Пример. Решить неравенство .

Решение. Так как , то . Следовательно, . Замена: . Имеем:  или . Решением этого неравенства будет . Обратная замена: , т.е.. Отсюда  или .Представив числа  и 3 в виде степеней с основанием 2, получим: . Следовательно, .