Показательная функция. Показательные уравнения. Показательные неравенства (стр. 1 )

 

Показательная функция. Показательные уравнения. Показательные неравенства.

 

Показательная функция - это функция вида

Свойства:

1.   

2.   

3.    Не является четной и не является нечетной

4.     - горизонтальная асимптота

5.    При

6.     - показательная кривая

 

Это пример графика функции (например, ).

 

 

Это пример графика функции (например, ).

 

Для показательных выражений имеем сравнения:

 

1)  

2)  

3)  

 

Функция  при  и  называется показательной.

Почему не берется  и

При имеем  при  - это постоянная функция.

При  тоже постоянная функция.

Выражение  при  имеет смысл только в случае, когда  - рациональное число, т.е. число вида  и  - нечетное, т.е. для отдельных точек. Степень с отрицательным основанием и иррациональным показателем или с четным знаменателем показателя не определена. Не определено также выражение  или 0 в отрицательной степени.

 

Показательные уравнение и неравенства

 

Показательным называются уравнения, в которых неизвестная входит только в показатель степени. Основание - постоянное

число. Простейшее показательное уравнение  или . Они решаются сведением правой и левой части к одному основанию или логарифмированием правой и левой части.

Например: .

При решении уравнений используются свойства степеней:

 

1)

2)

3)

4)  

5)

 

При решении показательных неравенств используются следующие свойства:

 

Из неравенства следует:

Если a > 1, то , так как функция возрастает.

Если 0 < a < 1, то , так как функция убывает.

 

Аналогично , то

Если a > 1, то , так как функция возрастает.

Если 0 < a < 1, то , так как функция убывает.

 

Методы решения показательных неравенств рассмотрим на примерах.

 

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Преобразуем данное неравенство, приведя его к одинаковым степеням: .

Замена: . Имеем:  или . Обратная замена: .

Ответ: .

 

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Имеем:  или . Замена: . После замены имеем систему неравенств   или .

Ответ: .

 

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Такое неравенство называется однородным. Имеем: . Разделим обе части неравенства на . Имеем: . Замена: . Имеем систему неравенств . Решение этой системы:  Или после обратной замены   .

Ответ: .

Логарифмы. Определение. Свойства.

 

Определение. Логарифмом числа b (b > 0) по основанию a , называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Таким образом, запись  означает