Показательная функция. Показательные уравнения. Показательные неравенства (стр. 4 )

Ответ: .

Показательно-логарифмические уравнения и неравенства

 

Показательно-логарифмические уравнения и неравенства – это уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и в показателе степени, при этом показатель степени содержит логарифмы.

Например, показательно-логарифмическим уравнением является уравнение типа .

Такие уравнения можно решать логарифмированием правой и левой частей уравнения по основанию a.

При решении неравенств нужно помнить о свойствах монотонности логарифмической функции.

 

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Прологарифмируем по основанию 10 правую и левую части. . Имеем:  или . Замена: . Имеем квадратное уравнение . Его корни: .

Обратная замена: , .

Ответ: 30; 100.

 

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Так как функция  - возрастающая, то знак неравенства не изменится.  

   .

Ответ: .

Показательно-степенные уравнения и неравенства

 

Показательно-степенные уравнения и неравенства – это такие уравнения или неравенства, в которых неизвестная входит одновременно и в показатель степени и в основание степени. Например,  есть показательно-степенное выражение.

В общем случае показательно-степенное выражение записывается в виде . Допустимые значения переменной, входящей в основание и показатель степени обычно определяются из следующих условий: показатель  может принимать любые значения, а основание  положительные значения. При этих условиях, сложное показательно-степенное выражение  можно представить в виде .

При указанных ограничениях, решением уравнения  будет считаться решение смешанной системы  и те значения переменной x, при которой , т.е. совокупности системы и уравнения.

Уравнение вида  обычно решается логарифмированием левой и правой частей уравнения. Естественно, при этом накладываются ограничения .

Однако выражение  может иметь смысл и при некоторых значениях . Это приходится иногда учитывать при решении уравнений. Так, например, уравнение  кроме корня

x = 1 имеет еще и корень x = -1. В таких случаях для решения уравнений  необходимы дополнительные исследования.

При решении показательно-степенных неравенств требуют, чтобы основание степени было положительно. Такие неравенства удобно решать методом интервалов.

 

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Так как , то исходное уравнение эквивалентно совокупности  . Отсюда имеем . Проверим еще случай, когда основание , т.е. x = 2. Проверкой убеждаемся, что 2 тоже корень: .

Ответ: -1, 2, 4.

 

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Основание  для всех x. Прологарифмируем левую и праую части неравенства по основанию 10. Так как 10 > 1, то знак неравенстве не изменится. Имеем: . Будем решать полученное неравенство методом интервалов. Левая часть неравенства обращается в ноль при , причем, 0 имеет кратность 2.

 

 

Ответ: .