Лекция 12. Столкновения частиц, реактивное движение (стр. 2 )

Рис. 12.2

 

В ядерных превращениях часто приходится иметь дело с процессом, обратным абсолютно неупругому столкновению. Это спонтанный распад тяжелых ядер на два ядра. Пусть ядро массой покоя , находящейся в системе Λ в состоянии покоя, самопроизвольно распадается на ядра с массами покоя  и  (рис. 12.2). Так как до распада импульс ядра равен нулю, то образовавшиеся осколки должны иметь равные по модулю и противоположно направленные импульсы

 

. (12.19)

Очевидно, в данном случае лабораторная система отсчета Λ является также и С-системой. Закон сохранения энергии дает

(12.20)

где

 

. (12.21)

 

Учитывая (12.19) и (12.21) получим

 

. (12.22)

 

Из полученных соотношений (12.20) и (12.22) определим энергии осколков:

 

, (12.23)

 

а из (12.21) – импульсы.

Так как из (12.21)  и , то из (12.20) следует, что спонтанный распад ядра возможен, если его масса покоя превышает сумму масс покоя осколков: .

Пользуясь формулой , получим аналогичную (12.16) связь между массами покоя частиц:

,

где K – полная кинетическая энергия осколков.

 

Абсолютно упругие столкновения.

 

Так называются те столкновения между двумя частицами, при которых диссипация энергии частиц не возникает. Значит, во время этих столкновений сохраняется не только полный импульс, но и полная кинетическая энергия частиц. Различают лобовые и не лобовые абсолютно упругие столкновения. Здесь мы рассмотрим столкновения частиц в рамках ньютоновской механики.

 

Абсолютно упругие лобовые столкновения.

 

Это - столкновение двух частиц, когда до и после столкновения частицы движутся вдоль одной и той же прямой.

 

Рис. 12.3

 

Рассмотрим столкновение частиц массами m1 и m2, которые в системе отсчета Λ до столкновения имеют скорости  и . Решение задачи существенно упрощается, когда мы используем систему отсчета С, в которой частицы до и после столкновения имеют равные по модулю и противоположно направленные импульсы (рис. 12.3)

. (12.24)

 

Для получения связи между импульсами до и после столкновения воспользуемся условием сохранения энергии

 

,

 

откуда с учетом (12.24) –

 

.

 

Отсюда получаем

 

.

 

То есть, в системе С величины импульсов частиц не меняются, только меняют свои направления на противоположные (рис. 12.3)

. (12.25)

Но, так как

,

то в системе С соотношения (12.25) верно также для скоростей частиц

(12.26)

Теперь можно перейти к системе Λ и определить скорости частиц после столкновения:

(12.27)

 

где мы воспользовались правилом преобразования скоростей при переходе от системы Λ к системе С и соотношениями (14.26).

Значит

 

(12.28)

 

которые и дают окончательное решение задачи. При получении этих формул мы воспользовались формулой скорости движения центра инерции (12.2). Из полученного решения, в частности, следует, что если , то  и , то есть при лобовом столкновении частиц с одинаковыми массами они обмениваются своими скоростями. Если до столкновения одна из частиц находилась в состоянии покоя, то после столкновения остановится налетевшая частица, а другая будет двигаться со скоростью, которая была у налетевшей до столкновения.

В конце этого раздела отметим запоминающееся соотношение

 

которое получается из решений (12.27).

 

Абсолютно упругие нелобовые столкновения, и экспериментальная проверка релятивистской механики.

 

Без ограничения общности будем предполагать, что одна из частиц до столкновения находится в покое (). Для этого следует просто выбрать СО, движущийся со скоростью второй частицы до столкновения.

Решение задачи нелобового столкновения частиц заключается в нахождении величин и направлений импульсов после столкновения частиц. Однако законы сохранения не в состоянии решить эту задачу однозначно, а могут лишь указать пределы, в которых могут меняться импульсы и углы разлета частиц. Для их точного получения следует решить уравнения движения.

Рис. 12.4

 

Пусть частица массы  со скоростью  налетает на неподвижную частицу с массой . Схематически, в системе отсчета Λ это представлено на рис.12.4, где  и  - углы, которые составляют импульсы частиц после столкновения с импульсом налетающей частицы. Законы сохранения импульса и энергии при этом дают:

 

Эти уравнения можно преобразовать к виду

 

(12.29)

 

Откуда видно, что если , то , т.е. частицы одинаковой массы после нелобового соударения разлетаются по перпендикулярным направлениям. Если , то необходимо, чтобы , что имеет место при . Следовательно, когда тяжёлая частица налетает на лёгкую частицу, то происходит разлет частиц под острым углом - “рассеяние вперёд” и, наконец, в случае сталкивания лёгкой частицы с тяжёлой:  - происходит “рассеяние назад” - .

То, что направления движения одинаковых частиц после столкновения перпендикулярны, было экспериментально подтверждено при столкновениях между  – частицами и ядрами гелия в камере Вильсона. Такие процессы с хорошей точностью описываются в рамках ньютоновской механики, поскольку скорости  – частиц очень малы по сравнению со скоростью света. Однако при стремлении скорости налетающей частицы к скорости света, её масса должна увеличиться, и тогда угол между направления движения одинаковых частиц после столкновения должен быть меньше . Этот характерный эффект был использован для экспериментальной проверки релятивистской механики. Картина треков частиц при столкновениях -частиц с покоящимися электронами в камере Вильсона позволяют измерять эти углы, которые оказались меньше  (Чемпион,1932г.). Эти измерения можно считать экспериментальным доказательством законов сохранения в релятивистской механике и формулы зависимости массы от скорости.