Лекция 12. Столкновения частиц, реактивное движение (стр. 4 )

Спроектируем уравнение (12.34) на направление движения ракеты:

 

,

 

откуда, интегрируя, получим

 

 

где  – постоянная интегрирования. Пользуясь начальными условиями движения

 

, (12.39)

 

для  получим значение

 

 

Значит,

(12.40)

Или

 

(12.41)

 

Последние выражения представляют формулы Циолковского. Она получена для медленных движений, когда  и  намного малы по сравнению со скоростью света. Подставляя  в формулу (12.40), определим скорость, которую приобретет корпус ракеты после полного сгорания топлива

 

(14.40')

 

Заметим, что скорость корпуса пропорциональна скорости газовой струи и логарифмически зависит от отношения масс топлива и корпуса.

В современных ракетах, работающих на химическом топливе, скорость газовой струи не превышает 4,5 км/с. Это маленькая скорость для космических полетов. В этом можно убедиться с помощью простейших расчетов. Наименьшая скорость, которую нужно сообщить корпусу для удаления от поля тяготения Земли, равна 11,2 км/с, а для удаления от Солнечной системы – 16,7 км/с (вторая и третья космические скорости). Нетрудно подсчитать, что если принять u = 4 км/с, только для получения этих скоростей необходимо сжечь топливо массой, соответственно, в 16 и 63 раза большей, чем масса корпуса ракеты. Однако вспомним, что в этих расчетах не учтена работа, совершаемая против сил сопротивления воздуха, что потребует дополнительных расходов топлива.

 

Релятивистские ракеты.

 

Если ракета движется со скоростью, близкой к скорости света, то вместо (12.40)-(12.41) необходимо получить соответствующие релятивистские формулы.

Пусть в системе отсчета Λ, двигающаяся со скоростью v, частица самопроизвольно распадается по направлению ее движения на частицу массы m, движущейся со скоростью  и на частицу с массой , движущейся в обратном направлении со скоростью . После распада частицы будут иметь импульсы и энергии

 

(12.41)

 

В системе отсчета С, которая движется со скоростью vc = v, они будут иметь импульсы

 

(12.42)

 

где были учтены формулы (12.41) и отброшены бесконечно малые второго порядка.

Пользуясь релятивистским правилом преобразования скоростей, определим относительную скорость присоединяемой массы

 

(12.43)

 

откуда

 

(12.44)

 

Согласно основному свойству С системы: . Учитывая в последнем формулы (12.42) и (12.44) в линейном приближении по u получим:

 

(12.45)

 

Принимая , интегрируя последнее уравнение и пользуясь начальными условиями (12.39), получим релятивистское обобщение формулы Циолковского:

 

(12.46)

 

При сгорании одной и той же массы топлива из формулы (12.46) для скорости корпуса ракеты получается меньшее значение, чем по формуле Циолковского. Это объясняется тем, что параллельно со скоростью возрастает и инертность релятивистской ракеты.

В случае медленных движений из формулы (12.46) получается результат формулы Циолковского. Действительно, в этом случае

 

 

так что

 

 

где мы воспользовались следующим известным пределом:

 

 

Контрольные вопросы:

● Какие вы знаете типы соударений частиц?

● Какое количество теплоты выделяется при абсолютно неупругом

столкновении частиц?

● Опишите абсолютно упругое лобовое столкновение двух частиц.

● Какой угол составляют импульсы одинаковых частиц после нелобового

соударения между ними?

● Опишите опыты Чемпиона.

● Какие бывают неупругие столкновения частиц?

● Выводите уравнение Мещерского.

● Как возникает реактивная сила?

 

Литература

 

1.      Абрамян основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.).

2.      Сивухин курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.

3.      Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука, 1975 -480 с. (БКФ, Механика).

4.      , Бадалян по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220 стр.

5.      Иродов по общей физике. M., Наука, 1979; «Лань», 2001 – 416 стр.

 

Задачи

 

12.1. В деревянный шар массой m1=8 кг, подвешен­ный на нити длиной L=1.8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой m2 = 4 г. С какой скоростью ле­тела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонялась от вертикали на угол a=3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, централь­ным.

12.2. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m1= 300 кг, ударяет молот массой m2=8 кг. Определить КПД h удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

12.3. Шар массой m1= 1 кг движется со скоростью m1=4м/с и сталкивается с шаром массой m2= 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью v2= 3 м/с. Каковы скорости шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

12.4. Шар массой m1 = 3 кг движется со скоростью v1=2м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2=5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

12.5. Определить КПД h неупругого удаpа бойка массой m1 = 0,5 т, падающего на сваю массой m2= 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

12.6. Шар массой m1=4 кг движется со скоростью v1 = 5м/с и сталкивается с шаром массой m2 = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью v2= 2 м/с. Определить скорости шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент­ральным.

12.7. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m1 = 10 г со скоростью v = 300 м/с. Затвор пистолета массой m2 = 200 г прижимается к стволу пру­жиной, жесткость которой k = 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

12.8. Шар массой m1 = 5 кг движется со скоростью V1=1м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2=2 кг. Определить скорости шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

12.9. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью v1 = 600 м/с, а когда ору­дию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью v2 = 580 м/с. С какой ско­ростью откатилось при этом орудие?

12.10. Шар массой m1=2 кг сталкивается с покоя­щимся шаром большей массы и при этом теряет 40% ки­нетической энергии. Определить массу большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.