Лекция 12. Столкновения частиц, реактивное движение (стр. 3 )

 

Неупругие столкновения.

 

Во время неупругого столкновения изменяются внутренние энергии сталкивающихся частиц (или одной из них), следовательно, и их суммарная кинетическая энергия. Обозначим приращение полной кинетической энергии частиц вследствие столкновения через Q:

 

.

 

В зависимости от знака величины  неупругие столкновения бывают экзоэнергетическими  или эндоэнергетическими . В первом случае кинетическая энергия системы после столкновения возрастает (за счет уменьшения внутренней энергии частиц), а во втором – убывает.

Наша цель – определить импульсы частиц после лобового столкновения. Решим задачу в системе С. Так как изменение кинетической энергии не зависит от выбора системы отсчета, то

 

 

откуда

 

. (12.30)

 

Значит, во время неупругого столкновения величина импульса частицы в системе С изменяется. Причем, после столкновения импульс частицы возрастает в экзоэнергетическом случае и убывает - в эндоэнергетическом. Переходя в лабораторную систему отсчета, для импульсов частиц после столкновения получим формулы

 

(12.30’)

 

При некоторых неупругих столкновениях внутренняя энергия, в зависимости от внутренних свойств частиц, может принимать лишь вполне определенные изменения. Таковыми являются неупругие соударения атомов и молекул. В то время как экзоэнергетические столкновения могут происходить при произвольном значении энергии частиц, эндоэнергетические могут происходить лишь тогда, когда энергия налетающей частицы не меньше, чем, так называемая, пороговая энергия. При соударении с меньшей энергией частицы не меняют свои внутренние энергии и сталкиваются как абсолютно упругие шары.

 

Движение тела с переменной массой.

 

Не следует путать используемое здесь понятие «переменная масса» с зависимостью массы от скорости в релятивистской механике. Под движением тела с переменной массой мы понимаем класс движений, в течение которых в движущемся теле происходят непрерывные процессы притока или оттока материи. Примерами таких движений могут быть движение поливочной машины, падение дождевых капель в перенасыщенном облаке, в процессе которого капля обогащается все новыми и новыми молекулами воды, движение тающего айсберга в океане, движение загружаемого или разгружаемого вагона, движение реактивных самолетов и ракет и т.п. История исследования движения тел с переменной массой имеет более чем двухсотлетнюю давность. Однако, они получили практические применения лишь в последние 60-70 лет, в связи с бурным развитием реактивного движения.

Выведем дифференциальное уравнение движения тела с переменной массой. Пусть частицы с массами  и  в лабораторной системе отсчета в момент  движутся соответственно со скоростями  и  так, что через промежуток времени  сталкиваясь, сливаются, образуя частицу массой , которая движется со скоростью . Заметим, что это абсолютно неупругое столкновение (или спонтанный распад, если ) частиц. С физической точки зрения именно это представляет собой движение тела с переменной массой в течение каждого элементарного промежутка времени. Определим приращение импульса системы за рассматриваемый промежуток времени . Так как

 

 

То

 

(12.31)

 

где мы пренебрегли бесконечно малой величиной второго порядка .

Согласно уравнению изменения полного импульса, приращение импульса (12.31) обусловлено импульсом действующей на систему за время , равнодействующей силы:

 

,

 

откуда

 

(12.32)

 

Здесь вектор

 

(12.33)

 

есть скорость сливающейся с телом частицы в системе отсчета, связанной с телом, и называется относительной скоростью присоединяемой массы. Учитывая обозначение (12.33), полученное уравнение (12.32) представим в следующем виде:

 

(12.34)

 

Это - основное дифференциальное уравнение движения тела с переменной массой, полученное Мещерским в 1897г. и носит его имя. Данное уравнение отличается от второго закона Ньютона тем, что здесь масса тела – величина, зависящая от времени. Дополнительный член

 

(12.35)

 

называется реактивной силой.

Если присоединяемая масса не имеет скорости в лабораторной системе отсчета -  (например, когда капля падает в перенасыщенной неподвижной среде водяного пара - облака), то его уравнение движения примет следующий вид

 

(12.36)

 

Если же равна нулю относительная скорость присоединяемой массы  (что, например, имеет место в случае движения тающего айсберга в океане), то действующая на тело реактивная сила будет отсутствовать, и мы получим

 

(12.37)

 

Необходимо, однако, учитывать, что в приведенных частных случаях (12.37) и (12.38), в отличие от (12.36), масса тела  – величина, непрерывно меняющаяся во времени.

 

рис. 12.5

 

Возникновение реактивной силы имеет ясный физический смысл. Поясним его на примере реактивного движения. Газ, образованный при сжигании топлива в камере сгорания ракеты, под большим давлением  выбрасывается из сопла, отталкиваясь с силой , где  – площадь выходного отверстия (рис. 12.5). Согласно третьему закону Ньютона, корпус ракеты подвергнется действию такой же, но противоположно направленной силы, которая и является действующей на нее реактивной силой. Нетрудно оценить величину этой силы. Это просто изменение импульса топлива за единицу времени. Топливо, находящееся в покое относительно корпуса ракеты, приобретает за единицу времени скорость

 

(12.38)

 

и, следовательно, претерпевает изменение импульса , где  – скорость газа в лабораторной системе отсчета, а  – масса выброшенного за единицу времени газа. По закону сохранения массы , где  – изменение массы ракеты за время . Итак, ракета подвергается воздействию силы со стороны газа , которая и является реактивной силой (12.35). В случае реактивного движения относительную скорость присоединяемой массы (12.38) часто называют скоростью газовой струи.

 

Формулы Циолковского.

 

Решим уравнение Мещерского в простейшем случае отсутствия действия силы тяжести и сопротивления воздуха на ракету.

Пусть в момент старта  в корпусе ракеты массой  содержится топливо массой . Предполагая, что скорость газовой струи во время движения неизменна (u = const), определим скорость корпуса ракеты после полного сгорания топлива.