ЕГЭ 2010. Математика. Задача B4. Рабочая тетрадь (стр. 2 )

 

 

6.1. В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin A = 0,8. Найдите AB.

 

 

6.2. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, cos A = 0,6. Найдите высоту AH.

 

6.3. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 5, tg C = . Найдите AC.

 

 

Решения задач диагностической работы

 

1.1. Первое решение. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 10. Найдем катет BC. Используя теорему Пифагора, имеем BC = . Следовательно, sin A = 0,6.

 

 

 

Второе решение. Так как катет AC равен 8, а гипотенуза AB равна 10, то cos A = 0,8. Воспользуемся формулой , выражающей косинус через синус острого угла. Откуда sin A = 0,6.

 

Ответ. 0,6.

 

1.2. Первое решение. Воспользуемся формулой . Тогда cos A =  = 0,8.

 

 

Второе решение. Можно считать, что гипотенуза AB и катет BC данного прямоугольного треугольника равны соответственно 10 и 6. Тогда по теореме Пифагора катет AC равен 8 и, следовательно, cos A = 0,8.

 

Ответ. 0,8.

 

1.3. В прямоугольном треугольнике ACH катет CH равен 6, гипотенуза AC равна 10. Используя теорему Пифагора, находим AH = 8. Следовательно, tg A = 0,75.

 

Ответ. 0,75.

 

2.1. Проведем высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза AC равна 10, катет AH равен 6. По теореме Пифагора находим CH = 8 и, следовательно, sin A = 0,8.

 

Ответ. 0,8.

 

2.2. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна 10, катет AH равен 8. По теореме Пифагора находим BH = 6 и, следовательно, cos B = 0,6. Так как углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.

 

Ответ. 0,6.

 

2.3. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза AC равна , катет CH равен 8. По теореме Пифагора найдем AH. Имеем AH == 16. Откуда tg A = 0,5. Так как углы A и C треугольника ABC равны, то тангенс угла ACB равен 0,5.

 

 

Ответ. 0,5.

 

3.1. Синус внешнего угла при вершине A треугольника ABC равен синусу угла A и, следовательно, равен 0,6.

 

Ответ. 0,6.

 

3.2. Косинус внешнего угла при вершине A равен –cos A. Воспользуемся формулой , выражающей косинус острого угла через его синус. Тогда cos A =  = 0,8 и, следовательно,  косинус внешнего угла при вершине A равен –0,8.

 

 

 

Ответ. –0,8.

 

3.3. Тангенс внешнего угла при вершине A равен –tg A. По теореме Пифагора находим BC == 6 и, следовательно, tg A = 0,75. Значит, тангенс внешнего угла при вершине A равен –0,75.

 

 

 

Ответ. –0,75.

 

4.1. Первое решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC. Его катет BC равен 3, гипотенуза OB равна . Следовательно, sin A = .

 

Второе решение. Угол AOB равен 45о. Следовательно, sin A = .

Ответ. 2.

 

4.2. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC. Его катеты BC и OC равны соответственно 4 и 2. Следовательно, тангенс угла BOC равен 2. Учитывая, что тангенс смежного угла равен тангенсу данного угла, взятому с противоположным знаком, получаем, что тангенс угла AOB равен – 2.

 

 

 

Ответ. – 2.

 

4.3. Рассмотрим треугольник OBС. OC = BC = , OB =. Следовательно, треугольник OBC – прямоугольный, косинус угла AOB равен .

Ответ. 2.

 

5.1. Подставляя в формулу BC = ABsin A данные значения BC и sin A, находим AB = 5.

 

Ответ. 5.

5.2. Имеем BC = ACtg A = 80,75 = 6. По теореме Пифагора находим AB = = 10.

 

Ответ. 10.

 

5.3. Углы BCH и BAC равны, как острые углы с перпендикулярными сторонами, значит, cosBCH = 0,8. CH = BCcosBCH = 4,8.