УДК 517.2
Математический анализ (3 семестра): программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы № 1 / Сост. ; РГАТУ имени . – Рыбинск. 2012. – 20 с. – (Заочная форма обучения / РГАТУ имени ).
Методические указания разработаны на основе ФГОС ВПО и предназначены для студентов заочной формы обучения, обучающихся 5 лет по специальности 230700 «Прикладная информатика в экономике» и изучающих математический анализ три семестра.
Методические указания содержат рабочую программу, список литературы, методические указания по выполнению контрольной работы №1, основные понятия и формулы, решения типовых задач, варианты контрольной работы по темам: «Функции. Предел и непрерывность», «Дифференциальное исчисление. Исследование функций», «Функции нескольких переменных».
СОСТАВИТЕЛЬ
кандидат технических наук, доцент .
ОБСУЖДЕНО
на заседании кафедры высшей математики.
© РГАТУ, 2012
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Вариант № 0
1.0. Исследовать функцию на непрерывность, указать точки разрыва, определить их род. Сделать схематический чертеж.
Решение.
Исследуем точки, в которых может быть разрыв функции:
1) 
: 
Найдем односторонние пределы: 
, 
.
Следовательно, – точка разрыва второго рода.
2) 
: 
.
Найдем односторонние пределы: 
,
.
Значит, – точка непрерывности.
Строим схематический график:
2.0. Найти указанные пределы:
а) 
;
Решение.
Разложим на множители выражения:
и 
.
Тогда 
.
Ответ: 
.
б) 
;
Решение. 
.
Ответ: 
.
3.0. Найти производную 
функции, заданной явно, неявно или параметрически.
а) 
;
Решение. 
.
б) 
Решение. 
.
в) 
.
Решение. Находим производную каждого слагаемого, учитывая при этом, что 
.
.
Раскроем скобки: 
.
Выразим 
: 
;
; 
.
4.0. Выполнить задания:
1. Найти экстремумы функции. Найти промежутки убывания и возрастания функции 
Решение. 1) Определим критические точки. Для этого находим 
Критические точки – это точки, в которых 
или 
не существует.
– критические точки.
не существует при 
, но это значение не входит в область определения функции.
2) Исследуем критические точки: |
|
При переходе через критические точки 
производная меняет знак, следовательно, эти точки являются точками экстремума. 
– точка минимума, 
– точка максимума.
3) Экстремумы функции – это значения функции в точках экстремума. Находим эти значения 
4) Для любого значения x из интервалов 
и 
, поэтому это интервалы убывания функции. А для всех значений 
и 
, следовательно, функция возрастает на 
.
Ответ: 
и – промежутки убывания функции, а – возрастания функции.
2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b]:
, 
.
Решение. 1) Определим критические точки. Для этого находим 
. Критические точки – это точки, в которых или не существует. 
– критические точки.
2) Проверим, входят ли критические точки в заданный интервал, отбросим не вошедшие, вычислим значение функции в критических точках и на концах интервала, выберем наибольшее и наименьшее значение функции.
, 
, 
, тогда наибольшее значение функции 
, а наименьшее значение 
.
5.0. 
Найти 
Решение. 
6.0. Найти экстремумы функции 
Решение. 1) Определяем критические точки. Для чего находим частные производные 
и решаем систему 
– решение системы. 
– критическая (стационарная) точка.
2) Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Находим частные производные 2-го порядка: 
Вычисляем 
Значение положительное, следовательно, –точка экстремума, так как 
то 
– точка максимума.
3) Экстремум функции – это значение функции в точке экстремума . Вычисляем это значение: 
Ответ: 
