Сборник заданий по математике (стр. 2 )

;

Производные функций.

3.1.3.Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; д) ; е) ;

ж)

  3.2.  Приложения производной.

3.2.1.С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

  3.3.  Приближенное решение алгебраических уравнений.

3.3.1.Для уравнения отделить положительный корень и найти его приближенно с точностью :

а) методом деления отрезка пополам;

б) методом касательных.

Примечание. Можно считать, что точность достигнута, если разность между соседними приближениями и удовлетворяет неравенству .

  4. Интегральное исчисление.

  4.1.  Неопределенный интеграл.

4.1.1.Найти интегралы:

а) ; б) ; д) .

  4.2.  Несобственные интегралы.

4.2.1.Вычислить интеграл или установить его расходимость:

  4.3.  Применения определенных интегралов.

4.3.1.Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

4.3.2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.

  4.4.  Приближенное вычисление определенных интегралов.

4.4.1.Для вычисления определенного интеграла , разбивая отрезок интегрирования сначала на 10 равных частей, а затем на 20 равных частей, найти приближенное значение и : а) по формуле трапеций; б) по формуле Симпсона. Оценить точность приближения с помощью разности .

  5.  Функции нескольких переменных.

  5.1.  Частные производные и дифференциал функции.

5.1.1.Найти дифференциал функции .

5.1.2.Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

  5.2.  Приложения частных производных.

5.2.1.Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

5.2.2.Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

  6.  Двойные, тройные и криволинейные интегралы.

  6.1.  Двойные интегралы.

6.1.1.Изменить порядок интегрирования:

.

6.1.2.Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точки и .

6.1.3.Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

  6.2.  Тройные интегралы.

6.2.1.Найти , если тело V ограниченно плоскостями и .

6.2.2.Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

  6.3.  Криволинейные интегралы.

6.3.1.Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.

6.3.2.Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.

  7.  Элементы теории поля.

  7.1.  Дифференциальные операции.

7.1.1.В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

7.1.2.Найти в точке градиент скалярного поля

.

7.1.3.Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

7.1.4.Найти в точке ротор векторного поля

.

  7.2.  Интегралы и интегральные теоремы.

7.2.1.Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

7.2.2.Даны поле и цилиндр D, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x2+y2=(n+1)2. Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

7.2.3.  Даны поле и замкнутый виток , ( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

  8.  Дифференциальные уравнения.

  8.1.  Уравнения первого порядка.

8.1.1.Найти общее решение уравнения:

а) ; б) ; в) .