Сложные задачи по математике (стр. 2 )

Ответ. На 12,5%

Задача 4. Рабочий день уменьшился с 8ч. до 7ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 12%?

Решение. 8(N + N) = 7(N + N),

8 + = 7 + , = , p = 28.

Ответ. На 28%.

Задание. Рабочий день уменьшился с 8ч. до 7ч. Как и на сколько процентов изменится заработная плата, если производительность труда увеличится на 12%.

(Уменьшится на 2%)

IV

Рассмотрим задачи с моделью вида

ax + bx = c(x + y).

Задача 1. На первом поле 65% площади засеяно овсом. На втором поле овсом засеяно 45% площади. Известно, что на первом и втором полях вместе под овсом занято 53% общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет первое поле?

Решение. Пусть х – площадь первого поля,

у - площадь второго поля.

По условию

0,65х + 0,45у = 0,53(х + у),

0,65х – 0,53х = 0,53у – 0,45у, у = .

= = .

Ответ. .

Задача 2. Из молока, жирность которого 5%, изготавливают творог жирностью 15,5%, при этом остаётся сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получится от одной тонны молока?

Решение. 15,5х + 0,5(1000 – х) = 5* 1000,

15х = 4500, х = 300.

Ответ. 300кг.

Задача 3. Две шкурки ценного меха общей стоимостью 8000 р. были проданы на аукционе с прибылью 40%. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 50%, а от второй 25%?

Решение. 0,5х + 0,25(8000 – х) = 0,4* 8000,

0,5х + 2000 – 0,25х = 3200,

0,25х = 1200, х = 4800.

Ответ. 4800 р., 3200р.

Задание. Имеется молоко с жирностью 3,5% и 1,5%. Сколько молока каждого сорта нужно взять, чтобы получить 10 л молока с жирностью 3%?

Ответ. 7,5 л, 2,5 л.

Придумайте текст задачи с моделью (1).

Текстовые задачи на смеси и сплавы

1.  Основные понятия

Рассмотрим методику решения текстовых задач на смеси и сплавы на примерах реальных экзаменационных задач и покажем, как её применять.

При решении текстовых задач на смеси постоянно приходиться работать со следующими понятиями:

*абсолютное содержание вещества в смеси;

*относительное содержание вещества в смеси.

Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения (грамм, литр и т. д.).

Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания к общей массе (объёму) смеси:

абсолютное содержание

Относительное содержание =

общая масса

Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным содержанием. При этом используются различные формы записи относительного содержания вещества: в долях и в процентах. Например, относительное содержание 0,05 = 5%.

Чтобы проиллюстрировать эти понятия, предположим, что в сосуд, содержащий 450 г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получившегося раствора 500 г.

В растворе абсолютное содержание соли 50 г, а относительное –

Аналогично, в растворе абсолютное содержание воды 450 г, а относительное –

Проведенные выше простые выкладки удобно проиллюстрировать следующей условной картинкой (подобные картинки следует рисовать в процессе решения задач на смеси):

Вода 450 г

Соль 50 г

Общая масса 500г

Абсолютное содержание соли = 50 г.

Относительное содержание

соли = = = 0,1г=10%

Абсолютное содержание воды = 450 г.

Относительное содержание

воды = = = 0,9=90%

Решение любой задачи на смеси обычно сводится к расчету абсолютного и относительного содержания компонент всех смесей, фигурирующих в условии задачи. Хотя часто эта информация избыточна, лучше не ломать голову над тем, что может понадобиться в процессе решения, а что нет.

2.  Типичные ситуации

Смешали две смеси

При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:

1)  подсчитать абсолютные содержания;

2)  сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные содержания компонент смеси;

3)  подсчитать относительные содержания компонент смеси.

Пример. Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55% раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.

Решение. Условие задачи удобно представить в виде рисунка:

500 г 400 г

Теперь дополним эту картинку недостающей информацией.

•Первый раствор

1. Абсолютное содержание соли: 500 г (общая масса)* 0,1 (относительное содержание соли) = 50 г.

2. Абсолютное содержание воды: 500 г (общая масса) – 50 г (абсолютное содержание соли) = 450 г.

3. Относительное содержание воды:

450 г (абсолютное содержание воды) = 0,9 = 90%.

500 г (общая маска)

Хотя две последние величины не потребуются при решении задачи, мы их подсчитали для полноты картины; в более сложных задачах также лучше не ломать голову над тем, понадобится или нет какая-то величина в будущем, а считать все абсолютные и относительные содержания.

•Второй раствор

4. Абсолютное содержание соли: 400 г (общая масса)*0,55 (относительное содержание соли) = 220 г.

5. Абсолютное содержание воды: 400 г (общая масса) – 220 г (абсолютное содержание соли) = 180 г.

6. Относительное содержание воды:

180 г (абсолютное содержание воды) = 0,45 = 45%.

400 г (общая масса)

•Смесь двух исходных растворов

7. Общая масса: 500 г (масса первого раствора) + 400 г (масса второго раствора) = 900 г.

8. Абсолютное содержание соли: 50 г (абсолютное содержание соли в первом растворе) + 220 г (абсолютное содержание соли во втором растворе) = 270 г.

9. относительное содержание соли:

270 г (абсолютное содержание соли) = 27 = 30%

900 г (общая масса) 90

10. Абсолютное содержание воды: 900 г (общая масса) – 270 г (абсолютное содержание соли) = 630г. Это же значение можно получить, сложив абсолютное содержание воды в первой смеси (450 г) и абсолютное содержание воды во второй смеси (180 г).

11. Относительное содержание воды:

630 г (абсолютное содержание воды) = 63 = 70%

900 г (общая масса) 90

(хотя две последние величины не требуют для решения задач, мы их подсчитали для полноты картины).

Итак, концентрация соли в смеси двух исходных растворов – 30%

Вода 45% = 180 г

Соль 55% = 220 г

Соль 10% = 50 г

Вода 90% = 450 г

В процессе решения задачи удобно наносить всю найденную информацию на исходную картину, так что к концу решения она будет выглядеть следующим образом:

500 г 400 г

900 г