Часть I. Горение веществ (стр. 2 )

Стационарная теория теплового воспламенения

- Каменецкий наиболее строго рассмотрел вопрос осуществимости установившихся режимов при чисто кондуктнвном отводе тепла. Результаты эти пригодны для гомогенного твердого топлива, для расчета газовых систем при низких давлениях, для быстро развивающихся процессов, когда за время индукционного периода предвзрывной разогрев системы не столь значителен. В теории - Каменецкого рассматривается стационарное в тепловом отношении состояние системы (теплоотвод равен теплоприходу) и ищутся условия, при котором оно невозможно.

- Каменецкий предложил следующее решение задачи. Пусть все тепло, выделявшееся за счет химической реакции, теряется через стенки при помощи кондукции. Теплопроводность стенок принимается бесконечно большой, температура стенок поддерживается постоянной. Предполагается, что за время установления стационарного равновесия изменение начальной концентрации реагирующих веществ невелико, поэтому диффузией компонентов пренебрегают. В этих условиях ищется стационарное состояние системы.

Рассмотрим простейшую задачу стационарной теория, а именно - тепловой взрыв в плоском реакционном сосуде толщиной 2rt. В этом случае уравнение теплового взрыва примет вид

lDT+QW= . (11)

Для решения уравнения (11) представим его в безразмерной форме. Безразмерную температуру примем согласно формуле (-безразмерная разность температур), при этом Тi = То, т. е. температуре стенки. Для определения безразмерной координаты введем характерную длину l представляющую собой параметр, определяемый отношением теплоты, отводимой посредством теплопроводности, к теплу, выделяемому в химии ческой реакции:

. (12)

Тогда безразмерная координата f=x/l и отсчитывается от центра сосуда. Применяя преобразование -Каменецкого, приведем уравнение (11) к форме

(13)

и определим граничные условия

f = 0; dQ/dT = 0; Q = 0 (14.)

f = fo = ro/l; Q = 0. (15)

В данном случае предполагается стационарное состояние, когда температура в центре сосуда равна температуре стенки (график Q=Q(f)) изобразится в этом случае прямой линией, параллельной оси абсцисс).

Из постановки задачи в безразмерных переменных видно, что характер решения и условия его существования зависят лишь от одного параметра - безразмерной толщины xo. При малых xo, когда велик теплоотвод в стенки сосуда, решение существует, а при больших xo,, когда условия приближаются, к адиабатическим, - решения нет. Следовательно, должно существовать критическое значение xкрит., разделяющее область существования и не существования решения. Это критическое значение x(крит) определяет критический размер сосуда , а при заданных размерах сосуда - критическую температуру теплового взрыва.

Интегрирование уравнения (13) легко выполняется, если ввести переменную . Тогда

,

и уравнение припишет вид

, (16)

откуда с учетом условия Z = 0, q = 0 следует:

(17)

(знак минус перед корнем выбран из тех соображения, что при дальнейшей процессе температура должна уменьшаться по мере удаления от центра сосуда). Интегрируя выражение (17) еще pas, получим: (18)

или, пронимая . будем иметь

(19)

Выражение (19) можно преобразовать:

или окончательно получим частное решение:

. (20)

Дальнейшие рассуждения проведем на основе группового подхода, разработанного (1959). Можно убедиться, что уравнение (13) с граничным условием (15) инвариантно относительно некоторой однопараметрической группы преобразований. Действительно, пусть )- некоторое частное решение (13), удовлетворявшее условию (15). Тогда при любом постоянном d данное выражение

Q (21)

также удовлетворяет выражению (13) с условием (15). Пользуясь группой (21), можно по одному частному решению (20) построить всю совокупность решений с различной температурой Qc. при и . Можно также найти огибающую однопараметрического семейства всех решений уравнения (13), удовлетворяющих условию (14). Дифференцируя выражение (21) по параметру группы d, полагая , обозначен учитывая, что , находим

. (22)

Соотношение (22) с учетом, что частное решение Q(S) имеет вид выражения (20), переходят в уравнение:

1-SthS = 0. (23)

Функция SthS - четная относительно S , обращается в О при S = 0 и монотонно растет с ростом S>0 . Поэтому уравнение (23) имеет единственный корень; вычисление дает S = So =1,2.

Подставляя в (21) d, выраженное через So, находим с учетом частного решения (20) уравнение огибающей

(24).

Критический размер сосуда определяется из условия равенства температуры стенки и центра сосуда (Q=0)

(25)

или .

Предвзрывной разогрев в центре сосуда равен

; (26)

и отношение перепада температуры в центре сосуде и на стенке к абсолютной температуре стенки составляет

(27)

Поскольку RTo/E по условию << I, то величина DT/To мала. Это оправдывает применение преобразования - Каменецкого.

Нестационарная теория теплового взрыва

Теория теплового взрыва была разработана в 1940 г.

Рассмотрим простую систему. Пусть некоторый объем газа заключен в сосуд, стенки которого неизменно поддерживаются при заданной температуре То. Предположим, что при реакции температура внутри сосуда везде одинакова и равна Т. Ввиду этого вся разница температур между газом и стенкой сосредоточена на границе между ними. Соответственно этому внутри сосуда в газе не существует различия в концентрациях реагирующих веществ.

Напишем два выражения - для скорости выделения тепла во всем объеме V и для отдачи тепла через стенки сосуда. Если тепловой эффект реакции равен Q Дж/моль, то скорость выделения тепла в сосуде„ содержащей V объемов газа, равна

(28)

Это тепло идет частично на нагревание газа, частично теряется через стенки сосуда. Количество потерянного тепла запишем в виде

q2 =aF(T-To), (29)

где F - общая поверхность стенок сосуда.

Предположение, что внутри сосуда температура однородна, означает, что скорость выравнивания температур там очень велика, так что основное термическое сопротивление оказывает тонкий слой газа, прилегающий к стенкам сосуда; понятно, что в этом случае величина a зависит как от формы и размеров сосуда, так и от температуры. Построим графики зависимости тепловыделения и теплоотвода от температуры (рис.3). Предположим, что до момента. воспламенения в сосуде не происходит изменения реагирующих веществ, т. о. концентрация постоянна и равна начальной Со. Система кривых 1,2,3 соответствует скорости выделения тепла для трех различных скоростей реакции (уравнение 21). Прямая 4 соответствует скорости отдачи тепла в зависимости от температуры внутри сосуда (29).

Рис.3. Диаграмма теплового взрыва :

1,2,3-тепловыделение; 4-теплоотвод

Когда реакция идет по кривой 3, то смесь будет разогреваться от Т0 до Т1, так как до этого момента теплоприход превышает теплоотвод. В точке Т1 нагрев прекратится и система придет в равновесие. Реакция пойдет дальше с постоянной скоростью. Если количество реагирующих молекул не будет меняться, практически скорость будет падать.