Связанные переходы в гелий - неоновом лазере (стр. 2 )

p16 p65 b×u3.3

p63 5

b×u0.6

p51 3

p61 p31

1

Рис.4

Согласно теории Эйнштейна можно составить систему кинетических уравнений для нахождения населенностей четырехуровневой системы, согласно схемы на рис.4.

=+ p16×n1 + (b×u0.6)×n3 +(b×u3.3)×n5 (p61+p63+p65+b×u0.6+b×u3.3)×n6

= - (p51+b×u3.3)×n5 + (p65+b×u3.3)×n6

= - (p31+b×u0.6)×n3 + (p63+b×u0.6)×n6 (3)

=- p16×n1 + p31×n3 + p51×n5 + p61×n6

N = + n1 + n3 +n5 + n6

где pi j, (b×ui j) - вероятности перехода атомов с i - уровня на j - уровень спонтанного и индуцированного соответственно.

При t=¥ и при неизменных вероятностных параметрах система переходит в стационарный режим, когда . Необходимо определить четыре неизвестные величины ni (i=1,3,5,6) из пяти уравнений. Легко убедиться, что четвертое уравнение является линейной комбинацией первых трех уравнений, поэтому его можно исключить из системы уравнений. Подставим пятое уравнение в первое уравнение, понизив порядок определителя системы уравнений. С учетом сказанного имеем:

N×p16=(p16-b×u0.6)×n3+(p16-b×u3.3)×n5+(p16+p61+p63+p65+b×u0.6+b×u3.3)×n6

0= -(p51+b×u3.3)×n5 +(p65+b×u3.3)×n6

0= -(p31+b×u0.6)×n3 +(p63+b×u0.6)×n6 (4)

Определитель системы D¹0. Система имеет одно решение. Корни ni выражаются формулами Крамера.

n6=, n5=, n3=, (5)

где

D6=N×p16×(p31+b×u0.6)×(p51+b×u3.3)

D5=N×p16×(p31+b×u0.6)×(p65+b×u3.3) (6)

D3=N×p16×(p63+b×u3.3)×(p51+b×u3.3)

D=A+B×(b×u0.6)+C×(b×u3.3)+×(b×u0.6)×(b×u3.3)

A=p16×[p31×(p65+2×p51)+p51×p63]+p51×p31×(p65+p63)

B=p16×p65+p51×(3×p16+p65+p31) (7)

C=p16×p63+p31×(3×p16+p63+p51)

=4×p16+p51+p31

При этом учитывалось, что скорость накачки

p16=p61

Разности населенностей в каналах 0.63mк и 3.39mк имеют следующую зависимость.

n6-n3=Dn63=N×

n6-n5=Dn65=N× (8)

Ненасыщенные разности населенностей имеют следующие значения соответственно

D=N×

D=N× (9)

Насыщенные разности населенностей представим в виде, удобном для дальнейших исследований:

Dn63=D,

Dn65=D, (10)

где в индексации плотности энергии u6.3 и u3.3 индекс длины волныт был заменен на индекс соответствующего перехода атома с уровня на уровень, а также

b=b63×, c=b65, d=b63××b65×,

f65=, f63=. (11)

Если ансамбль атомов с концентрацией N находится в стационарном состоянии и распределен по энергетическим уровням согласно формул (5), (6), (7), то распределение атомов все равно является динамическим, так как в ансамбле атомов постоянно совершаются переходы от одного энергетического состояния в другое. Вероятность спонтанного перехода атомов с уровня 6 на уровень 5 и 3 в единицу времени определяется как , . Мощность спонтанного излучения с этого уровня соответственно: и . Вероятность индуцированного перехода атомов с уровня 6 на уровень 5 и 3 в единицу времени: , . Мощность вынужденного излучения с уровня 6: , . Мощность вынужденного поглощения с уровня 5 и 3 соответственно: , .

Время взаимодействия плотности энергии электромагнитного поля со слоем среды dz равно: , где v - скорость распространения электромагнитной волны в среде. Энергия индуцированного излучения, выделяемая слоем среды dz за время взаимодействия равна:

du65=,

du63=. (12)

Для слоя среды длиной l имеем соответственно:

,

, (13)

где - плотности энергии поля электромагнитной волны на входе активной среды. - плотности энергии поля на выходе активной среды, согласно схемы лазера (рис.5). Dnij = (ni - nj) - разность населенностей.

где l - длина активной среды,

R - зеркала с коэффициентом отражения R.

Представим соотношения (13) в форме, удобной в дальнейших исследованиях, с учетом распределенных потерь в среде. Отметим, что приращение плотности энергии поля за один проход сквозь активную среду запишется:

- , (14)

где r - коэффициент нерезонансного поглощения или рассеяния энергии поля на единицу длины:

, (15)

где кi j - коэффициент усиления энергии поля электромагнитной волны для активной среды на единицу длины.

Запишем размерности величин, применяемых в формулах (14), (15) :

n=[1/ объем], u=[энергия / объем], b=[объем /(энергия×время)]

n=[1/ время], =[энергия], v=[длина / время], (16)

r=[1/длина], ki j=[1/длина]. p=[1/ время]

Подстановкой легко убедиться, что равенство размерностей в формулах (14), (15) соблюдается.

Решение уравнения (12) можно записать в другом более удобном виде:

(17)

В условиях стационарной генерации приращение плотности энергии электромагнитной волны за один проход сквозь активную среду или отношение должно компенсироваться потерями на зеркалах (пропускание зеркал) - потерями на излучение. Волна на выходе одного направления с плотностью энергии после отражения от зеркала превращается в волну противоположного направления с начальной плотносaтью энергии на входе активной среды. Поэтому в условиях симметрии, когда R1=R2 , уравнения прямого и обратного направления идентичны и мы можем записать: