Исследовательская работа по математике по теме: «Различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 4

г. Орехово-Зуево Московской области

Исследовательская работа

по математике по теме:

«Различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы».

Выполнил: Евдокимов Алексей, 11 класс «А»

Учитель:

2016 г.

Содержание:

Введение­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ………………………………………………………………….. 3

Задачи на процентное содержание влаги ………………………………... 4

Решение задач на растворы, смеси и сплавы с помощью модели ….. ….7

Решение задач на смеси и сплавы с помощью таблицы……………… 11

Решение задач на смеси методом прямоугольников…………………. 12

Старинный алгебраический метод или правило квадрата…………........ 14

Решение задач на смеси и сплавы с помощью расчётной формулы… 16

Решение задач на смеси и сплавы графическим способом…………….. 17

Задачи для самостоятельного решения……………………………………….. 18

Заключение ……………………………………………………………………. 19

Литература …………………………………………………………………….. 20

Введение

Просматривая КИМы ЕГЭ, я обратил внимание, что в 30% работ в качестве текстовой задачи предлагается задача на смеси, сплавы или растворы. Эти задачи при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Задачи данного типа, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления. Поэтому я считаю, что на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной.

Цель работы: изучить способы решения различных типов «химических» задач, подготовиться к сдаче выпускного экзамена.

Для достижения поставленной цели требуется выполнить ряд следующих задач:

1. Рассмотреть различные способы решения задач на проценты, включая традиционный и нетрадиционные методы;

2. Выделить основные особенности и преимущества каждого из методов;

3. Создать рекомендацию по решению задач на смеси, растворы и сплавы.

Чтобы решить любую задачу, надо создать математическую модель. В каждом типе задач я использую удобные для меня схемы. В начале своей работы я покажу способы, которыми обычно решаю данного вида задачи, а затем перейду к способам, которые нашёл в дополнительной литературе и интернете.

Задачи на процентное содержание влаги.

Начать работу хочу с задач на процентное содержание влаги. В открытом банке задач я нашёл три основных вида таких задач.

При решении подобных задач следует определить ту величину, которая не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода.  В рассматриваемых задачах эту величину будем обозначать х.

Задача 1.

Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие – 20 % воды. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?

Решение.

Модели в данных задачах оформляем в виде кружочков, поделённых пополам. В нижней его части записываем содержание воды в %, в верхней – массу вещества.

20кг 100% у 100%

масса

 

вода

Свежие фрукты сухие фрукты

Если свежие фрукты содержали 72% воды, то «не воды» в них было 28%. Всего 100%. Массу сухого вещества назвали х, а по условию задачи свежих фруктов было 20 кг. Все эти сведения отмечены в первом кружочке. Аналогично заполняем второй кружочек.

Из рисунка видим две пропорции. Решим их.

.

кг.

Ответ: 7 кг.

Задача 2.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 82 килограмм изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм 5 %.

Решение.

у кг 100% 82 100%

 

масса

 

вода

виноград изюм

В отличие от предыдущей задачи первая пропорция получилась во втором кружочке.

кг

Ответ: 779 кг.

Задача 3.

Собрали 42 кг свежих грибов, содержащих по массе 95% воды. Когда их подсушили, они стали весить 3 кг. Каков процент содержания воды по массе в сухих грибах?

Решение.

42 кг 100% 3 100%

 

масса

 

вода

свежие грибы сухие грибы

К = 100% - 70% = 30%

Ответ: 30%.

Задачи для самостоятельного решения.

1)  Изюм по­лу­ча­ет­ся в про­цес­се сушки ви­но­гра­да. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да по­тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 42 ки­ло­грам­мов изюма, если ви­но­град со­дер­жит 82% воды, а изюм со­дер­жит 19% воды?

2)  Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

3)  Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?

Решение задач на растворы, смеси и сплавы с помощью модели.

В открытом банке заданий рассматриваются 5 основных видов таких задач. Их модель я оформляю в виде прямоугольников, разделённых пополам. В верхней части прямоугольника записывается масса, в нижней – проценты. Чтобы составить уравнение, необходимо данные величины перемножать. Если проценты перевести в десятичные дроби, то во второй строке решения уравнения, чтобы числа были целыми, всю строку надо умножить на 100. Поэтому при составлении уравнения сразу учитываю это.

Задача 1.

В сосуд, содержащий 6 литров 20-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

 

+ =

 

6 ∙ 20 + 6 ∙ 0 = 12х

12х = 120

х = 10

Ответ: 10%

Задача 2.

Смешали 3 литра 10-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

4)   

5)  + =

6)   

3 ∙ 10 + 12 ∙ 15 = 15х

30 + 180 = 15х

15х = 210

х = 14

Ответ: 14%

Задача 3.

Первый сплав содержит 5% меди, второй – 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава.

Решение:

7) 

 

8)  + =

5х +

14(х+10) = 11(2х+10);

5х + 14х + 140 = 22х + 110;

3х = 30; х = 10.

10 кг – масса 1-ого сплава. Найдём массу 3-его сплава.

2х + 10 = 30(кг).

Ответ: 30 кг.

Задача 4.

Смешав 14-процентный и 98-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 70-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 74-процентный раствор кислоты. Сколько кг 14-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

 

+ + + =

14х + 98у + 10∙0 = 70 ∙ (х + у + 10)

 

+ + + + =

14х + 98у + 10∙50 = 74 ∙ (х + у + 10)

Составим систему уравнений.

14х + 98у + 10∙0 = 70 ∙ (х + у + 10)

14х + 98у + 10∙50 = 74 ∙ (х + у + 10)

14х + 98у = 70х + 70у + 700

14х + 98у + 500 = 74х + 74у + 740

56х – 28у = -700 : (-28)

60х – 24у = -240 :12

-2х + у = 25 ∙ 2

5х -2у = -20

-4х +2у = 50 +

5х -2у = -20

х = 30 (кг).

Ответ: 30 кг.

Задача 5.

Имеются два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 43% кислоты. Сколько кг кислоты содержится в первом сосуде?

Решение:

 

+ =

40х + 20у = 60 ∙ 32

 

+ =

х + у = 2 ∙ 43

Составим систему уравнений.

40х + 20у = 60 ∙ 32 : 20

х + у = 2 ∙ 43

2х + у = 96 -

х + у = 86

х = 10 (%) – кислоты в первом растворе.

Если вся масса 1-ого раствора 40 кг, а кислоты в нём содержится 10%, тогда масса кислоты составляет 4 кг.

Ответ 4 кг.

Решение задач на смеси и сплавы с помощью таблицы.

Рассмотрим решения задач с применением таблицы. Таблица для решения задач имеет вид:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества

Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав	15%=0,15	хг	0,15*х
Второй сплав	65%=0,65	(200 – х)г	0,65*(200–х)=130–0,65х
Получившийся сплав	30%=0,3	200 г	200*0,3=60

Сумма масс меди в двух первых сплавах равна массе меди в полученном сплаве:

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г

Ответ: 140 г, 60г.

Решение задач на смеси методом прямоугольников.

Одним из универсальных методов является метод прямоугольников. Данный способ удобен, так как зрительное восприятие данных, расположенных в определенном задуманном порядке, позволяет компактно представить процессы соединения растворов, упростить составление уравнения, а также облегчить процесс как решения, так и проверки задачи. Наиболее распространены задачи, в которых из двух смесей (растворов или сплавов) получается новая смесь (раствор или сплав). Рассмотрим типовые задачи.

Задача 1.

Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение:

Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x).

15x = 5 (600- x)

x =150 г.

Ответ: 150 г и 450 г.

Задача 2.

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

 

10х=25(140-х), х=100.

140-100=40. Ответ: 100т и 40т.

Старинный алгебраический метод или правило квадрата.

Решим данным методом предыдущую задачу.

Задача 1. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Решение.

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа

5		10
	30
40		25

вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получилась схема:

Из неё делается заключение, что 5% металла следует

взять 10 частей, а 40 % - 25 частей. Узнав, сколько

приходится на одну часть 140: (10+25) = 4 т, получаем,

что 5% - ного металла необходимо взять 40 т,

а 40% - ного -100 т.

Или можно составить пропорцию:

х = 40

Ответ: 40 т - 5% - ного металла и 100 т - 40% - ного металла.

Задача 2. В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?

Обозначим искомую величину за Х. По правилу квадрата получим:

3		6-х
	х
6		х-3

Составим пропорцию: х= 4,8

Ответ: 4,8 % - жирность молока.

Этот способ еще называют «методом креста».

Правило креста (диагональная модель «конверта Пирсона») – диагональная схема правила смешения:

Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху-большая), на пересечении отрезков – заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.

Задача 3.

Сколько грамм 10%- процентного раствора соли надо добавить к 300 граммам 30%- процентного раствора этой же соли, чтобы получить 14%- процентный раствор?

Решение:

Используем правило креста.

Следовательно правило креста “говорит”, что для приготовления 14%-го раствора соли нужно взять 4 части 30%-ного раствора исходного раствора и добавить 16 частей 10%-ного раствора соли.

х = 1200 (г)

Ответ: масса добавляемой соли равна 1200 грамм.

Задача 4.

Задача: В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию.

Решение:

0,2 х – 0,1

х

0,1 0,2 - х

0,2 – х = 3х – 0,3

4х = 0,5

х = 0,125 х = 12,5 %.

Ответ: 12,5 %.

Решение задач на смеси и сплавы с помощью расчётной формулы.

, где

P – процентное содержание вещества

m - масса вещества.

Рассмотрю с помощью формул уже решённые ранее задачи.

Задача 1.

В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Решение.

Ответ: 12,5 %.

Задача 2.

Сколько грамм 10%- процентного раствора соли надо добавить к 300 граммам 30%- процентного раствора этой же соли, чтобы получить 14%- процентный раствор?

Решение.

Р = 0,14, Р1 = 0,1, m1 = х, Р2 = 0,3, m2 = 300

14х + 4200 = 10х + 9000

4х = 4800

х = 1200.

Ответ: 1200 г

Решение задач на смеси и сплавы графическим способом.

Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости

ω = (ω1 ∙ m1 + ω2 ∙ m2) / (m1 + m2), y = k / x.

Замечание: Данный способ является наглядным и дает приближенное решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить достаточно точный ответ.

Задача 1.

В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Решение.

 

Ответ: 12,5 %.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  В лаборатории изготовили 1кг 16% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200г воды. Какова стала концентрация соли в растворе?

Ответ:20%.

2.  При выплавке стали из чугуна, выжигается углерод. Содержание углерода в чугуне 4%. Сколько тонн углерода нужно выжечь из 245т чугуна, чтобы получилась сталь с содержанием углерода 2%?

Ответ:5т.

3.  Слиток сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди?

Ответ:13,5кг.

4.  После смешивания двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой — 20 г безводного йодистого калия, получилось 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого на 15% больше концентрации второго.

Ответ:40% и 25%.

5.  Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке на 40% меньше, чем во втором. После того как оба слитка сплавили, получился слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в каждом слитке, если в первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг.

Ответ:20% и 60%

6. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с ее 10%-ным раствором и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов 30 % -ного раствора было взято?

Ответ:150г.

400

10

Заключение

Таким образом, в данной работе мной были рассмотрены несколько различных методов решения задач на смеси, растворы и сплавы. При этом практически было доказано, что прийти к верному ответу задачи можно, используя любой из рассмотренных выше способов решения.

Однако стоит отметить, что, несмотря на внешние различия в ходе решения задач различными способами, все они в своей основе имеют общую схему. Как уже отмечалось ранее, каждый из рассмотренных методов опирается на знание понятий «концентрация вещества» и «процентное содержание вещества в растворе».

Литература:

1.  Задачи на смеси, растворы и сплавы / Библиотека «Первое сентября». – 2009. - №31

2.  Водингар, задач на смеси, растворы, сплавы / , . – Математика в школе. - 2001. - №4.

Интернет-ресурсы:

http://mathege. ru/or/ege/

http://himik. pro/rastvory/pravilo-kresta

http://dok. /docs/index-64453.html

http://egemaximum. ru