Для отдельно взятой частицы fj есть вероятность ее принадлежности к фракции (свойству) с номером j; при большом числе частиц это массовая доля частиц, принадлежащих этому свойству. В конечном счете fj может быть и абсолютной (размерной) массой частиц в j-м интервале размеров.

Совокупность взаимных состояний системы (пространство состояний) может быть схематично представлено последовательностью ячеек (рис. 3.5). Предположим, что к материалу, характеризующемуся фракционным составом fjo, j = 1, 2,…, m, подведена удельная энергия E. В результате измельчения любая частица может остаться неизменной или разрушиться и дать осколки любого размера, меньшего чем исходный (здесь и далее мы пренебрегаем возможностью агломерации частиц, то есть укрупнением их размера). Возможные переходы между состояниями показаны на рис. 3.5 стрелками (дугообразные стрелки соответствуют отсутствию перехода из данной фракции). Каждый переход определенной вероятностью gij, где i соответствует номеру состояния, куда переходит частица, а j – номеру состояния, из которого осуществляется переход. Эти вероятности могут быть организованы как матрица переходных вероятностей G, которая в отсутствие агломерации является нижней треугольной матрицей.

. (3.3)

Каждый столбец матрицы описывает полную группу событий, и сумма всех вероятностей в каждом столбце равна единице:

. (3.4)

Представим набор fj фракционных содержаний как вектор-столбец:

. (3.5)

Тогда в результате однократного акта измельчения с матрицей G, соответствующей подведенной удельной энергии E, фракционный состав после измельчения может быть рассчитан как

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

. (3.6)

Матрица G связана с традиционно используемыми для описания измельчения селективной Sj и распределительной bij функциями измельчения. Эта связь выражается соотношениями

. (3.7)

В дальнейшем будем считать, что селективная функция может быть аппроксимирована степенной зависимостью от среднего размера фракции xcpj:

, (3.8)

где показатель степени n связан с используемым энергетическим законом измельчения (n = 1 для закона Риттингера и n = 0,5 для закона Бонда), а величина a – с удельным энергоподводом.

Будем также считать, что распределительная функция соответствует равномерному распределению осколков фракции j по размерам.

. (3.9)

Вообще говоря, средний размер фракции существенно зависит от принятого закона осреднения, но при большом числе фракций (то есть при их относительной узости) он с достаточной степенью точности может быть отождествлен со средним арифметическим размером.

. (3.10)

При принятом законе измельчения, то есть величине n, матрица G содержит только один неизвестный параметр a, определяемый экспериментально для заданной энергии E.

Равенство (3.6) позволяет рассчитать фракционный состав после однократного нагружения. Если продолжить нагружение, считая, что процесс не зависит от f, то после k нагружений с одинаковой энергией получим

или . (3.11)

Соотношение (3.11) описывает по существу дискретную кинетику процесса, где целочисленным аргументом, пропорциональным времени, является номер прихода .

Показатель степени при матрице G в (3.11) не обязательно должен быть целым числом. Если матрица G была идентифицирована для энергии E0, то подвод энергии E соответствует k = E/E0 нагружений, и в рамках принятой линейной модели

. (3.12)

Если энергия подводится не дискретно, а непрерывно, но с постоянной мощностью, то E~Dt, где Dt – продолжительность измельчения. Тогда (3.12) принимает вид

(3.13)

и является обобщенным уравнением линейной кинетики периодического измельчения. В частности, оно позволяет пересчитывать матрицу G(Dt0), идентифицированную для времени измельчения Dt0, на любую продолжительность измельчения.

На рис. 2.6 пример эволюции фракционного состава трассера для матрицы с n = 1, a = 0,2. При k®¥ все частицы переходят в самую мелкую фракцию.

При периодическом измельчении все фракции подвергаются нагружению в течение одинакового времени. При непрерывном измельчении это условие выполняется далеко не всегда: фракции могут двигаться вдоль мельницы с разной скоростью. Следовательно, описание кинетики непрерывного измельчения должно сочетать модель измельчения и модель движения материала.

3.3. Моделирование процессов измельчения

Современные технологии предъявляют все новые требования к измельченным материалам. Во многих случаях измельченному материалу уже недостаточно иметь высокую удельную поверхность, а необходимо удовлетворять требованиям к содержанию отдельных более или менее узких фракций в нем.

Сложность математического описания и расчета как собственно процесса измельчения частиц, так и его организации в той или иной ТСИ определяется, главным образом, тем, что процесс носит исключительно случайный характер. Прочность, размеры и форма частиц имеют широкий разброс по их ансамблю, стохастическим является движение частиц в мельнице и мельничном классификаторе. Независимое экспериментальное нахождение этих распределений является настолько сложной задачей, что оказывается гораздо проще осуществить тестовое измельчение материала в некоторых стандартизованных условиях, а потом переносить полученные данные на реальную ТСИ с помощью некоторых теоретически обоснованных принципов масштабного перехода. При этом подходе важную роль играют принципы системного анализа.

Эффективность использования методов системного анализа зависит от удачного выбора уровня декомпозиции исследуемой системы. Ниже описана ячеечная модель преобразования фракционного состава материала в ТСИ замкнутого цикла, позволяющая при обратном переходе получить практически все модели измельчения, используемые в настоящее время в различных отраслях переработки сыпучих материалов.

Объектом моделирования является длинная (трубная) мельница, работающая в замкнутом цикле измельчения, где материал, не достигший требуемой степени измельчения, направляется мельничным классификатором на домол в мельницу. Расчетная схема процесса и его двумерная ячеечная модель показаны на рис. 3.7. Длина мельницы разбита на (n-1) продольную секцию длиной Δy = L/(n-1); n-я секция отведена мельничному классификатору. Каждая секция имеет свой текущий номер j = 1, 2,…, n. Измельчаемый материал разбит на m фракций по размерам частиц со средними размерами xi, i = 1, 2,…, m, где i = 1 соответствует самой крупной фракции. Фракционный состав материала может быть представлен вектором-столбцом f = {fi}, i = 1,…, m, где fi – содержание i-й фракции. Состояние наугад взятой из ТСИ частицы определяется двумя целыми числами i и j: она может находиться в j-й пространственной секции ТСИ и принадлежать к i-й фракции. Показанное на рис. 3.7 пространство возможных состояний материала является неполным, так как в него не включен коллектор готового материала за выходом мелкого продукта классификатора, так как материал может находиться и там. Каждое состояние характеризуется определенной вероятностью, которая может трактоваться как доля материала, пребывающего в этом состоянии, а также рассматриваться и как его размерная масса, что и будет использоваться в дальнейшем.

 

Характеристикой состояния всей цепи (двухмерной цепи ячеек (то есть всей ТСИ)) в некоторый момент времени является вектор-столбец размером (mхn)x1.

F = {F1 F2 … Fm Fm+1 … F2m … Fm(n-1)+1 … Fmn}T, (3.14)

где массы материала в том или ином состоянии последовательно расположены друг под другом в соответствии с нумерацией ячеек, принятой на рис. 3.7, индекс Т означает транспонирование вектора или матрицы. Сумма элементов Fi в j-м столбце дает загрузку этой секции материалом Gj, а последовательность fji = Fi/Gj – фракционный состав материала в этой секции. Сумма всех Gj от 1 до (n-1) есть полная загрузка мельницы материалом G.

Будем рассматривать процесс через последовательные малые промежутки времени Δt – времена перехода. Тогда текущие моменты времени будут рассчитываться как tk = (k-1)Δt, где целое число k = 1, 2,… (номер перехода) становится целочисленным аналогом текущего времени. За k-й переход вектор состояния Fk изменится и перейдет в Fk+1. Это изменение обусловлено следующими событиями, происходящими внутри цепи. Во-первых, это измельчение, допускающее переход на любую, более мелкую фракцию (переходы между строками внутри столбцов). Во-вторых, транспорт фракций материала вдоль мельницы, в силу стохастичности его движения допускающий переходы как вперед, так и назад (переходы между столбцами в строках). В-третьих, перевод части материала классификатором на домол, а части – в готовый продукт измельчения. В-четвертых, подача в первый столбец цепи материала от внешнего источника – питателя ТСИ. Изменение вектора состояния, то есть кинетика процесса, может быть описано рекуррентным матричным равенством

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5