Глава 3. Измельчение сыпучих материалов (стр. 3 )

Fk+1 = М (Fk+Ffk), (3.15)

где М – матрица переходных вероятностей (или матрица ТСИ) размером (mxn)x(mxn), ответственная за переходы внутри цепи, определяемые событиями 1 – 3.

Ff = {Ff1 Ff2 … Ffm 0 … 0 … 0}T (3.16)

– вектор подачи материала, содержащий массы фракций, подаваемых в первый столбец цепи в течение Δt питателем. Если производительность подачи Bf, а фракционный состав сырья ff, то элемент вектора подачи материала определяется как Ffi = Bfffi Δt.

Переходная матрица М при некоторых допущениях может быть представлена как произведение двух матриц:

M = VG, (3.17)

где матрица G контролирует измельчение, то есть переходы между фракциями, а матрица V контролирует потоки фракций в ТСИ.

Матрица G является диагональной блочной матрицей.

, (3.18)

где на главной диагонали последовательно расположены матрицы измельчения в отдельных секциях мельницы Gj. Поскольку при классификации измельчения не происходит, в секции, относящейся к классификатору, стоит единичная матрица I. Все остальные матрицы Z есть нулевые матрицы. Размер всех матриц, входящих в блочную матрицу G, равен (mxm) и определяется числом наблюдаемых фракций. Матрица измельчения в секции есть нижняя треугольная матрица.

, (3.19)

где в каждом столбце стоит распределение по фракциям продуктов измельчения исходной фракции при нагружении материала с удельной энергией Emj. Сумма всех элементов матрицы в каждом столбце равна единице. Определение матрицы Gj как функции подводимой энергии Emj является объектом исследования для специалистов, занимающихся собственно разрушением сыпучих материалов при их механическом нагружении. В течение длительного времени при исследовании измельчения материал рассматривался только как бинарная смесь двух фракций – крупной и мелкой. Они разделялись по контрольному размеру xa, стандартные величины которого были разными в различных отраслях промышленности. В этом случае размер матрицы уменьшался до (2x2) и в ней оставался единственный неизвестный элемент g11 – остаток на контрольном сите с ячейкой xa. Для его определения было достаточно рассеять на этом сите исходный и измельченный материал, что существенно упрощало задачу экспериментального исследования кинетики собственно измельчения. Обобщение опытных данных осуществлялось экспоненциальной зависимостью остатка на контрольном сите от времени или от степенной функции времени, которая часто называлась уравнением [26]. Переход к наблюдению большего числа фракций приводит к принципиальным трудностям в определении матрицы Gj, поскольку она в этом случае уже не может быть восстановлена единственным образом по паре фракционных составов до и после измельчения. Для ее восстановления приходится отдельно измельчать исследуемые фракции, определяя последовательно и независимо столбец за столбцом матрицы, однако объединение этих результатов в матрицу измельчения полифракционного материала базируется на допущениях о независимом измельчении фракций в смеси и о распределении подводимой к материалу энергии между фракциями пропорционально их массовому содержанию. Прямая экспериментальная проверка этих допущений показала, что при измельчении сжатием они существенно нарушаются, но для барабанных мельниц являются приемлемыми. Попытки теоретического построения матрицы Gj немногочисленны и пока не получили практического распространения.

Если считать, что подвод энергии к материалу непрерывен и пропорционален времени, то пересчет матрицы с одного времени измельчения на другое может быть осуществлен по формуле

Gj(Δt)= Gj(Δt0)Δt/Δto. (3.20)

Матрица V, контролирующая потоки фракций в ТСИ, также является блочной матрицей и имеет вид

, (3.21)

где первые (n-1) столбцов матриц относятся к собственно мельнице, а последний столбец – к классификатору. Внутренние матрицы на примере второй секции мельницы имеют следующий смысл: матрица V32 – это диагональная матрица с вероятностями для фракций в течение Δt перейти в третью секцию, то есть вперед по ходу движения материала; V12 – диагональная матрица с вероятностями перейти в первую секцию, то есть назад (эта составляющая обусловлена стохастичностью движения материала); V22 – диагональная матрица с вероятностями остаться в течение Δt во второй секции. Выделяя из вероятностей переходов в соседние секции чисто случайную симметричную составляющую, определяемую стохастичностью потока, и детерминированную конвективную составляющую, определяемую осредненным движением потока вдоль мельницы, эти матрицы можно представить следующим образом:

, (3.22)

, (3.23)

где vi = Vi Δt/Δx – доля i-й фракции, переходящая в следующую по ходу секцию за счет осредненного движения; Vi – размерная скорость этого движения; di = DiΔt/Δx2 – доли i-й фракции, переходящие в соседние секции за счет стохастического движения; Di – дисперсионный коэффициент (коэффициент макродиффузии). Матрица V22 может быть определена из условия нормировки по формуле V22 = I-V32-V12.

Наиболее существенную роль в мельнице играет скорость Vi, определяющая время и, следовательно, тонкость измельчения. Рассмотрим наиболее простые схематизации движения материала в трубных мельницах, показанные на рис. 3.8. Случаи а) и б) соответствуют невентилируемым или слабо вентилируемым мельницам, когда поток газа практически не оказывает влияния на движение материала вдоль мельницы. Это движение можно рассматривать как движение частиц в концентрированном состоянии, при котором интенсивный обмен фракций количеством движения приводит к выравниванию скоростей движения фракций, что позволяет считать, будто материал движется через мельницу сплошным потоком. Здесь скорость движения всех фракций может быть рассчитана как

Vj = BjΔx/Qj, (3.24)

где Qj – масса сыпучего материала в j-й секции; Bj – фактический расход сыпучего материала через нее. Интенсивное продольное перемешивание материала в мельнице во многих случаях позволяет не учитывать слабый наклон его свободной поверхности в сторону выхода и считать Qj постоянной для всех секций. Однако, остается открытым вопрос о связи массы материала в мельнице с расходом материала через нее. Наиболее простым случаем является разгрузка мельницы через коаксиальный выходной патрубок (рис. 3.8, а), нижний край которого фиксирует уровень материала в мельнице. Естественно, что этот уровень меняется с изменением расхода, но здесь в первом приближении этим изменением можно пренебречь и считать Q = const, а время пребывания материала в мельнице обратно пропорциональным расходу материала через нее. Ситуация меняется, если разгрузка материала происходит через перфорированный экран (на рис. 3.8 не показан) или через нижний разгрузочный патрубок (рис. 3.8, б), что часто встречается в вибрационных мельницах. Здесь выходящий расход зависит от уровня материала перед экраном или над патрубком, и этот уровень устанавливается таким, чтобы обеспечить равенство входящего и выходящего расходов. Детальное расчетно-экспериментальное исследование связи массы материала в мельнице с производительностью для разгрузочного экрана, патрубка и их комбинации выполнено в работе [2] применительно к вибрационным мельницам Palla, но предложенный там подход может быть использован для любых типов трубных мельниц.

Еще более сложным оказывается движение материала в сильно вентилируемых мельницах, где он транспортируется вдоль мельницы в состоянии газодисперсного потока (рис. 3.8, в). Здесь естественно предположить, что скорость движения фракций вдоль мельницы существенно зависит от их крупности: мелкие фракции движутся гораздо быстрее крупных. Для моделирования кинетики измельчения в таком процессе необходимо подключать уже все возможности описанной выше ячеечной модели. Однако для этого необходимо иметь информацию о распределении скоростей движения фракций по их крупности. Одна из моделей, описывающих это распределение, разумно сочетающая сложность и прогностические возможности и прошедшая экспериментальную проверку, описана в работе [2], в которой теоретически обоснован вид распределения

Vi = W/(1+Axi0,5), (3.25)

где W – скорость вентилирующего газа; xi – средняя крупность фракции; А – эмпирический коэффициент, определяемый для конкретной мельницы. При наличии вентиляции распределение массы материала в мельнице уже не подчинено ее конструктивным параметрам и, наоборот, рассчитывается из модели.

Последний столбец матрицы V управляет потоками фракций в классификаторе. Традиционной характеристикой классификатора является его кривая разделения С3(х), связывающая вероятность выхода частицы в мелкий продукт с ее размером х (рис. 3.9, а). На кривой обычно выделяется несколько характерных точек: xc – граничный размер разделения, для которого С3(хс) = 0,5, и размеры частиц x75 и x25, выносимых в мелкий продукт на 75 и 25 % соответственно. Отношение x75/x25 называется остротой классификации, характеризует эффективность разделения. При идеальной классификации все частицы мельче xc выносятся в мелкий продукт, а крупнее – в крупный, то есть в возврат. Кривая разделения идеального классификатора показана на рис. 3.9, а штриховой линией.