Сходимость последовательных приближений для уравнений с нормальными операторами (стр. 2 )

(3)

пространство является банаховым. Пространство непрерывно вложено в пространство : , но не обязательно в замкнуто.

Для заданной функции положим

(4)

Повторяя рассуждения из [3] можно показать, что последовательность стремится к нулю в том и только том случае, когда обращается в нуль на всех отличных от точках с . Функции для которых , ниже называются -функциями.

Теорема 3. Пусть – нормальный оператор с в гильбертовом пространстве , и пусть . Пусть, кроме того, уравнение (1) разрешимо, . Тогда для любой -функции при справедливы неравенства

(5)

где – решение уравнения (1), для которого .

Предположение этой теоремы практически не слишком удобно – решение , как правило неизвестно. Поэтому условие удобнее заменить на предположение и предположение , где функции и связаны равенством .

Теорема 4. Пусть – нормальный оператор с в гильбертовом пространстве , и пусть . Пусть . Тогда для любой -функции при справедливы неравенства

(6)

3. В ряде задач при исследовании последовательных приближений достаточно установить их сходимость в норме, более слабой, чем исходная норма гильбертова пространства . Примером таких норм может служить норма

(7)

где – некоторый оператор с . При этом наиболее простым оказывается случай, когда оператор перестановочен с оператором (). Среди таких операторов наиболее простыми являются операторы вида

(8)

где – некоторая функция, нули которой, отличные от , не являются собственными значениями оператора . В этом случае (7) является нормой, так как из очевидным образом следует, что .

Напомним, что для последовательных приближений () справедливы равенства

и так как

то . Отсюда (см. [6,8]) для нормы (7) (с , определённым равенством (8)) следует, что

и, далее,

в частности,

(9)

где . Функцию теперь будем называть -функцией, если при . Нетрудно показать, что эффективность функции равносильна предположению, что для всех с .

Повторяя рассуждения из [3] приходим к следующему утверждению, обобщающему теорему .

Теорема 5. Пусть – нормальный оператор с в гильбертовом пространстве , и пусть . Пусть, кроме того, уравнение (1) разрешимо, – решение уравнения (1), для которого , .