Тогда для любой 
-функции 
справедливы неравенства (9).
Аналогично, для невязок 
последовательных приближений 
(
) справедливы равенства 
(
) и потому
Отсюда
и, значит,
(10)
где снова 
.
Теорема 6. Пусть 
– нормальный оператор с 
в гильбертовом пространстве 
, и пусть 
. Пусть, кроме того, 
, 
.
Тогда для любой -функции справедливы неравенства (10).
4. Нас теперь будет интересовать поведение последовательных приближений
(11)
где 
, 
– ошибка на 
-ом шаге при вычислении последовательных приближений. Будем предполагать, что 
, 
– фиксированное положительное число.
Из равенств (2) и (11) вытекают формулы
откуда
(12)
Так как и нормальный оператор, то 
, и, далее,
то неравенство (12) влечёт неравенство
Из него очевидным образом вытекает, что
(13)
где 
– последовательность, для которой 
(в статье [1] доказано, что 
при 
), – фиксированное выше число. Полученная оценка для 
позволяет провести стандартные в теории некорректных задач рассуждения, позволяющие увидеть, что приближения 
при малых сколь угодно близко подходят к точному решению 
.
В самом деле, неравенство (13) показывает, что ошибка -го «приближённого» последовательного приближения не превышает числа 
, и, тем самым, оценка (13) не позволяет сделать вывод о сходимости «приближенных» последовательных приближений к точному решению, так как при , правая часть в этой оценке стремиться к бесконечности. Однако, если последовательность 
достаточно быстро стремиться к нулю, то при малых 
элементы последовательности 
сначала убывают и начинают возрастать лишь при достаточно больших . Этот факт позволяет оценить близость приближённых последовательных приближений к точному решению при небольших .
Будем говорить, что последовательность является 
-последовательностью, если для любого 
и любого 
при достаточно малых среди членов последовательности с номерами 
существуют члены меньше 
. Очевидно, что при () последовательность является -последовательностью.
Действительно, для заданного выберем такие , что при , верно неравенство 
. Возьмём произвольное и выберем 
. Тогда при 
Напомним, что элемент 
последовательности оценивает ошибку , тем самым для любого и любого , существуют приближения с и при достаточно малого , отстающие от точного решения на расстоянии не больше .
Проведенные рассуждения легко иллюстрируются последовательностью с
Эта последовательность будет -последовательностью, если при любом при достаточно малых справедливо неравенство
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
