Функция на промежутке принимает наименьшее значение при

при этом , если достаточно мало. Отсюда следует, что при малых на промежутке эта функция принимает наименьшее значение

Ее наименьшее значение при натуральных из промежутка достигается либо в точке , либо в точке ; при этом . Но тогда , где некоторое число между и . Очевидно

Тем самым,

Правая часть этого неравенства при больших и малых становится меньше наперед заданного положительного числа . Тем самым, рассматриваемая последовательность является -последовательностью.

Тот факт, что последовательность оказывается -последовательностью в теории некорректных задач обычно трактуется как сходимость итерационного метода. В действительности, эта сходимость не является сходимостью в общепринятом смысле; её наличие позволяет лишь установить, что при малых приближения для некоторого достаточно близко подходят к точному решению. Описанный факт часто записывается в виде равенства

(14)

Иногда используется другое условие

(15)

Ниже будем говорить, что приближённый итерационный метод (11) при выполнении соотношений (14) и (15) квазисходится к точному решению.

Проведённые рассуждения показывают, что верна

Теорема 7. Пусть – нормальный оператор в гильбертовом пространстве , и пусть уравнение (1) разрешимо. Тогда «приближенные» последовательные приближения (11) квазисходятся к точному решению , для которого ; иными словами для этих «приближенных» последовательных приближений справедливы равенства (14) и (15).

Литература

1.  , // Об обобщении теоремы на несамосопряжённые операторы. Докл. НАН Беларуси. 2014. Т. 58, №. 2. С. 16-21.

2.  // О решении методом последовательных приближений уравнений с самосопряженными операторами. Успехи мат. наук, XV, вып. 3 (93). 1960. C. 161-165.

3.  , // Теорема и некорректные линейные задачи с самосопряжённым оператором. Докл. НАН Бел. 2014. T. 58, № 5. C. 12-17.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

4.  , // Теорема и итерационные процедуры решения некорректных задач с самосопряжёнными операторами. Докл. НАН Беларуси. 2014. T. 58, № 6. C. 9-14.

5.  , , Стеценко решение операторных уравнений. М.: Наука, Главная редакция физ.-матем. литературы. 1969. С. 455.

6.  Секефальви- Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979. C. 587.

7.  Шварц операторы. Спектральная теория. Мир. 1966. C. 1064.

8.  Гильбертово пространство в задачах. Мир. 1970. C. 352.

9.  Шварц операторы. Общая теория. М.: Изд. Иност. Литер. 1962. C. 896.

P. P. ZABREIKO, A. V. MIKHAILOV

*****@***ru; *****@***ru

CONVERGENCE OF SUCCESSIVE APPROXIMATIONS

FOR EQUATIONS WITH A NORMAL OPERATOR

Summary

The article deals with normal linear operators with the spectral radius in Hilbert spaces and for which the successive approximations with an arbitrarily initial approximation converge to a solution of the equation (under condition that these solutions exist). Sufficient conditions for the convergence of successive approximations on subspaces of sourcewise represented functions and in weakened norms are established. The behavior of residuals and corrections of these approximations is studied too. Moreover, the behavior of “approximate” successive approximations is also investigated.

Successive approximations; successive approximations with errors; normal operators in Hilbert spaces; spectral radius; spectral theorem for normal operators; well-posed and ill-posed problems; Krasnosel’skii’s theorem

Реферат

УДК 517.983

, Михайлов последовательных приближений для уравнений с нормальными операторами // Докл. НАН Беларуси. 2015. Т. 00, №. 0. С. 00-00.

В статье изучаются действующие в гильбертовом пространстве нормальные линейные операторы с единичным спектральным радиусом, для которых, однако, последовательные приближения сходятся при любом начальном приближении к одному из решений уравнения при условии, что такие решения существуют. Получены достаточные условия сходимости последовательных приближений на подпространствах истокообразно представимых функций и сходимость приближений в более слабой, чем исходная, норме гильбертова пространства. Исследовано поведение невязок и поправок. Изучено также поведение последовательных приближений при вычислениях с малыми ошибками.

Библиогр. — 9 назв.

Последовательные приближения; последовательные приближения с ошибками; нормальные операторы в гильбертовом пространстве; спектральный радиус; спектральная теорема для нормальных операторов; корректные и некорректные задачи; теорема Красносельского

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4