1 курс. Занятие по теме «Основы математической статистики»

,

преподаватель математики и информатики.

Цели урока: познакомить учащихся с математической статистикой; обеспечить усвоение основных понятий и формул; сформировать умение решать задачи; развить сообразительность, математическую речь и внимание.

Литература: 1) Математика: учеб. пособие / , , 2011;

2) Математика: Комбинаторика и основы теории вероятностей / ёва, , 2012;

3) Основы статистических методов компьютерной обработки результатов наблюдений: учебное пособие / , 2008.

Ход урока

Математическая статистика ‒ это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Данные, которые получаются в результате экспериментов, называются статистическими.

Статистических данных может быть достаточно много, поэтому данные необходимо упорядочить, расположить в порядке возрастания или убывания, представить в виде таблицы, диаграммы, графика и т. д.

Затем ставится задача оценить интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины.

Такими характеристиками могут быть:

1.  Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

2.  Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

3.  Модой называется такое значение дискретной случайной величины, вероятность которого наибольшая (число, наиболее часто встречающееся в ряду).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

4.  Медианой называется среднее по положению в пространстве событий значение дискретной случайной величины.

a)  Если ряд чисел с нечётным числом членов, то это число записанное посередине

b)  Если ряд чисел с чётным числом членов, то это среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Также введем некоторые точные оценки параметров распределения случайной величины:

1)  Относительная частота (оценка соответствующей вероятности события) , т. е. fi=pi.

2)  Ширина интервала определяется по формуле Стерджеса

3)  Интервалы вычисляются следующим образом

4)  Математическое ожидание

5)  Дисперсия

6)  Среднее квадратическое отклонение Ϭ

Рассмотрим пример: Ежедневное количество студентов, посещающих методический кабинет на протяжении ряда дней, следующее: 15, 17, 16, 18, 20, 21, 18, 17, 20, 15, 18, 17, 16, 19, 17, 16, 18, 19, 18, 19.

Задание: Составить статистическое распределение выборки, построить гистограмму и вычислить основные характеристики.

Решение: Статистическое распределение выборки оформим в виде таблицы. Всего n=20 посещений. В первой строке таблицы, выбирая варианты из выборки и располагая их в порядке возрастания, получим вариационный ряд (т. е. указываем встречающиеся посещения). Во второй строке таблицы подсчитываем для каждой варианты частоту mi её повторения в выборке (число повторений). В третьей строке относительную частоту fi. В четвертой строке для построения гистограммы определим интервалы.

Варианты выборки xi

15

16

17

18

19

20

21

Частота mi

2

3

4

5

3

2

1

Относительная частота fi

0,1

0,15

0,2

0,25

0,15

0,1

0,05

Интервалы

14,5-15,5

15,5-16,5

16,5-17,5

17,5-18,5

18,5-19,5

19,5-20,5

20,5-21,5

Замечание: Значения относительной частоты округлять до сотых и помнить, что сумма относительных частот равна 1.

1)  и т. д.

2)  Найдем ширину интервала . Желательно округлять до целых или десятых.

3)  Найдем интервалы для гистограммы. При x1=15 получаем или (14,5-15,5). Остальные получим аналогично или прибавлением h.

4)  Построим гистограмму. Выбираем соответствующий масштаб, учитывая значения переменных (для xi две клетки за единицу, а для fi одна клетка - 0,05).

Замечание: Если требуется построить полигон, то необходимо соединить точки с координатами (xi; fi).

5)  Среднее арифметическое ряда чисел

Вывод: в среднем 18 студентов ежедневно посещают методический кабинет.

6)  Размах ряда 21-15=6

7)  Мода

М0(Х)=18, т. к. fi(18)=0,25 самая наибольшая относительная частота или частота mi=5.

8)  Медиана. Для её определения сначала ранжируют выборки, т. е. располагают в порядке возрастания(15,16,…21). Т. к. у нас ряд с чётным числом членов, возьмем два числа, записанных посередине и найдем их среднее арифметическое. Это будет х10=18 и х11=18, тогда Ме(Х)=.

9)  Математическое ожидание

М(Х)=15*0,1+16*0,15+17*0,2+18*0,25+19*0,15+20*0,1+21*0,05=17,7

10)  Дисперсия. Помним, что fi=pi.

11)  D(X)=M[X-M(X)]2= p1 (x1‒M(X))2+p2 (x2‒M(X))2+…+pn (xn‒M(X))2=0,1*(15-17,7)2+0,15*(16-17,7)2+0,2*(17-17,7)2+0,25*(18-17,7)2+0,15*(19-17,7)2+0,1*(20-17,7)2+0,05*(21-17,7)2=0,729+0,4335+0,098+0,0225+0,2535+0,529+0,5445≈2,61

12)  Среднее квадратическое отклонение Ϭ1,61.

Домашнее задание: Составить статистическое распределение выборки, построить гистограмму и вычислить основные характеристики для ряда чисел

14,16,15,17,19,20,17,16,19,14,18,16,15,18,16,15,17,18,17,18.