Математическая модель системы «Листовой материал - прижимной вал – расправляющий вал»

УДК 675.055

математическая модель системы «листовой материал - прижимной вал – расправляющий вал»
К. Б. Хусанов,

ТГАУ, НИЦ ПОМ ТГТУ

В технологии обработки листовых материалов часто применяются валки, на образующей наружной цилиндрической поверхности которых имеются винтовые (спиральные) элементы.

Рассмотрим транспортирующий конвейер [1], содержащий ведущие 1 и 2 валы с натянутыми бесконечными струнами 3, которые огибают опорный вал 4. Один из групп струн 3, посажены на кольца, набранные на валу 4 и позволяющие регулировать их скорость. Блоки расправки содержат опорный 5, 6 и прижимные 7, 8 валы а также опорные 4, 9 и расправочные 10, 11 валы (рис. 1).

Рис. 1. Схема устройства для расправления при транспортировании

Для составления математической модели системы «кожевенный полуфабрикат - прижимной вал – расправляющий вал» использованы методы математического анализа и аналитической механики [2, 3, 5].

Листовой материал (кожевенный полуфабрикат), лежащий на струнах движется со скоростью движения струн, т. е.. При входе листового материала в валы 4, 6 расправочный вал 10 с винтовыми лопастями опускается (при этом вал 11 приподнимется) и вращается в попутном направлении с листовым материалом 12, расправляется входная часть листового материала. При этом вал 11 находится в приподнятом положении. Листовой материал двигаясь далее войдет в валы 5 и 7, с этого момента вал 11 опускается и вращается встречно направлению движения листового материала, расправляя его выходную часть. Когда конец листового материала приближается к валкам 4 и 6, расправочный вал 10 приподнимется. Так цикл повторяется. Подъем и опускание валков 10 и 11 осуществляется специальными механизмами и устройствами, которые не показаны на рисунке.

Данная система, состоящая из «листовой материал - прижимной вал - расправляющий вал» имеет четыре степени свободы. Продолжая преобразования, полученное в работе [1], определим зависимость

, (1)

где β – угол подъема винтовой линии, γ – угол между направлением скорости подачи листового материала и направлением полной скорости точки касания лопасти расправляющего вала; - диаметр вала (с учетом высоты лопастей).

Расправляющий вал вращается с постоянной угловой скоростью . Чтобы поддерживать постоянства угловой скорости расправляющего вала, необходимо к нему приложить дополнительное усилие. Если примем равенство (1) как дополнительная связь, то ее силы реакции будут дополнительными усилиями. Тогда рассматриваемая система имеет три степени свободы. Поэтому в качестве независимых параметров возьмем - перемещение листового материала 12, где и , – координаты левой и правой опоры расправляющего вала. Неподвижную систему координат выбираем так, чтобы её начала совпала с левой опорой в положении равновесия.

Для определения изменения этих координат и силы реакции связи (1) воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода [2, 3]. Так как число уравнений Лагранжа при наличии идеальных и голономных связей равно числу степеней свободы системы, т. е. числу обобщенных координат, следовательно, то в данном случае следует записать уравнение Лагранжа для обобщенных координат и :

, . (2)

где - обобщенные силы, обусловленные реакциями дополнительной связи (1).

Кинетическая энергия материальной системы состоит из сумм кинетических энергий нижнего опорного вала, листового материала, верхнего прижимного вала и расправляющего вала.

Координаты центра масс вала и углы, определяющие положение оси вала, равны [4, 5]

, ,

где - аппликата центра масс вала; - координаты левой и правой опоры; - аппликата точки геометрической оси вала (оси вращения), лежащей на пересечение этой оси с плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и проходящей через центра масс; - угол между проекциями оси вращения вала на плоскость и осью ; - расстояние между подвижными опорами (опоры вместе валом перемещаются в вертикальной плоскости ); - расстояние от геометрической оси до центра масс расправляющего вала. Расстояние от центра масс вала до опоры равно , до опоры равно .

Направив подвижные оси координат по главным центральным осям инерции вала, найдем проекции угловой скорости на эти оси, заметив что, угловая скорость расправляющего вала состоит из двух составляющих: – угловая скорость собственного вращения вала 5, направленная по оси ; – направленная по оси с точностью до второго малости включительно и с учётом знаков проекций находим:

, , .

Подставив эти значения в выражение кинетической энергии расправляющего вала и заменив их выражениями получим:

После простых преобразований найдем кинетическую энергию данной материальной системы:

(3)

где ,

Потенциальная энергия системы равна

,

где - коэффициент жесткости левых и правых опор ().

Далее находится частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям и обобщенным координатам , а также полной производной по времени .

Для определения обобщенной силы дадим системе обобщенное возможное перемещение , а два других, т. е и , примем равными нулю: , , . Это значит, что при неизменных значениях и листовой материал проходит между опорными прижимным валами. При этом, когда листовой материал проходит между двумя прижимными валами на него действуют силы давления и трения. В работе [6, 7] показано определение реакции деформированного покрытия в точке контакта обрезиненных и стальных валов, связанных шестернями и вращающихся с одинаковой угловой скоростью. В зоне контакта происходит деформация упругого покрытия и транспортируемого материала, который может рассматриваться как дополнительный слой покрытия. Такое многослойное покрытие может быть охарактеризовано некоторыми интегральными показателями свойств упругости и вязкости.

Составленная математическая модель позволяет определить зависимость между скоростью листового материала и угловой скоростью расправляющего вала, а также способы определения силы реакции дополнительной связи, обеспечивающие постоянства вращения угловой скорости расправляющего вала.

Список литературы:

1.  , . Изучение движения листового материала в устройстве для расправления при транспортировании // Проблемы механики, 2007. № 6.

2.  . Введение в аналитическую механику. М.: изд. «Наука», 1971, 264 стр.

3.  Лурье механика. М: Гос. Изд. 1961. 824 с.

4.  4. , , Кельзон механика в примерах и задачах. М.: «Наука», 1973. III том, 488 стр.

5.  , , . Расчет и конструктирование роторных машин. –Л.: Машиностроение. 1977. – 288 стр.

6.  . Основы проектирования и совершенствование конструкции машин мехового производства: дис. … док. тех. наук. М., 1990.

7.  Бурмистров и аппараты производства кожи и меха – М.: КолосС, 2006. – 384 с.: ил.