Математика

Из опыта работы Левиной Елены Юрьевны,

учителя математики Муниципального образовательного

учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 8» г. Оренбурга.

Школьный предмет математики призван развивать интеллект, логическое мышление. Еще Ломоносов говорил, что математику нужно изучать только потому, что она «ум в порядок приводит».

Один из главных лозунгов проекта нового стандарта – переход от знаниевой парадигмы к парадигме развития личности: на выходе из школы выпускник должен быть самостоятельным, инициативным, уверенным в себе, успешным в будущем. Принципиальная позиция определена. В центре должны быть не набор дидактических единиц, обязательных для изучения, а ребенок, формирование его личности. В центре внимания находится формирование универсальных учебных действий, призванных обеспечить способность ученика добывать знания самостоятельно.

Рассмотрим это на примере учебного предмета «математика». Максимально ориентированные на развитие личности учащегося возможности уже заложены в самой системе общего математического образования, в самой природе математической науки, гармонически сочетающей в себе черты как естественно-научных, так и гуманитарных дисциплин, объединяющей в себе богатейшую совокупность теоретических и практических знаний (естественнонаучную составляющую) и огромный общекультурный потенциал (гуманитарную составляющую). Насколько полно используются эти возможности в реальной практике школы? Как они диагностируются, формируются, развиваются и оцениваются? Предметные знания по математике можно проверить с помощью экзамена, а как проверить умение человека выбрать логически обоснованное решение в конкретном случае, правильность выбранного пути решения задачи, рациональность произведенных действий? Ведь зачастую бывает важен не только результат решения задачи, но и ход рассуждений, свидетельствующий об уровне сформированности универсальных действий, развития логического мышления.

Поэтому сегодня развитое логическое мышление рассматривается не только как важнейшее условие учебной успешности школьника, но и как основа формирования его мотивированной деятельности, умений решать проблемы, возникающие в реальной жизни, способности оценивать свою деятельность, учиться самостоятельно.

Велика роль логического мышления и в формировании ценностных ориентаций личности, обеспечивающих ее устойчивость, преемственность определенного типа поведения и деятельности, регулирующих мотивацию личности и являющихся важнейшим элементом ее структуры.

Теоретическое мышление, формой которого является мышление логическое, формируется только при организации целенаправленной работы для развития соответствующих операций; если, в школе ребенок не научается теоретическому подходу к решению проблемных ситуаций, то качественного изменения в его развитии не происходит.

Для развития логического мышления средствами математики необходимо знание определенных понятий и законов логики, т. е. логическая грамотность.

Логическая грамотность - свободное владение комплексом элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления и необходимый базис его развития.

Логическое мышление - способность и умение учащихся производить простые логические действия (анализ, синтез, сравнение, обобщение и др.), а также составные логические операции (построение отрицания, утверждение и опровержение как построение рассуждения с использованием различных логических схем - индуктивной или дедуктивной).

Руководить развитием логического мышления учащихся – это значит:
1) учить их умело производить умственные операции анализа, синтеза, сопоставления, абстрагирования, обобщения и др.;
2) помогать им овладевать простейшими понятиями, выражать суждения и делать выводы; делать их речь определенной, точной, последовательной и доказательной, т. е. учить мышлению правильному, соответствующему элементарным правилам логики.

К разрешению задачи мышление идет с помощью многообразных операций, таких как сравнение, анализ, синтез, абстракция и обобщение.

Сравнение – мышление сопоставляет вещи, явления и их свойства, выявляя сходства и различия, что приводит к классификации.

Анализ – мысленное расчленение предмета, явления или ситуации для выделения составляющих элементов. Таким образом, мы отделяем несущественные связи, которые даны в восприятии.

Синтез – обратный анализу процесс, который восстанавливает целое, находя существенные связи и отношения.

Анализ и синтез в мышлении взаимосвязаны. Анализ без синтеза приводит к механическому сведению целого к сумме частей, также невозможен синтез без анализа, т. к. он должен восстановить целое из выделенных анализом частей. В складе мышления некоторых людей наблюдается склонность – у одних к анализу, у других к синтезу.

Абстракция – это выделение одной какой-либо стороны, свойства и отвлечение от остальных. Так, рассматривая предмет, можно выделить его цвет, не замечая формы, либо наоборот, выделить только форму. Начиная с выделения отдельных чувственных свойств, абстракция затем переходит к выделению нечувственных свойств, выраженных в абстрактных понятиях.

Обобщение (или генерализация) – это отбрасывание единичных признаков, при сохранении общих, с раскрытием существенных связей. Обобщение может совершиться путем сравнения, при котором выделяются общие качества. Абстракция и обобщение являются двумя взаимосвязанными сторонами единого мыслительного процесса, при помощи которого мысль идет к познанию.

Целе-мотивационная сторона мышления. Мыслительная деятельность, так же как и любая другая исходит из мотивов и целей направленная на достижение определенных целей. Сама мысль рождается не из другой мысли, а из мотивирующей стороны сознания.

Основные формы логического мышления – это понятия, суждения, умозаключения.

Понятие – форма мышления, отражающая существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений, выраженная словом или группой слов. Понятия могут быть общими и единичными, конкретными и абстрактными.

Суждение – это форма мышления, отражающая связи между предметами или явлениями, это утверждение или отрицание чего-либо. Суждения могут быть ложными и истинными.

Умозаключение – форма мышления, при которой на основе нескольких суждений делается определенный вывод. Различают умозаключения индуктивные, дедуктивные, по аналогии.

Индукция – логический вывод в процессе мышления от частного к общему, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений.

Дедукция – логический вывод в процессе мышления от общего к частному, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил.

Аналогия – логический вывод в процессе мышления от частного к частному (на основе некоторых элементов сходства).

Логическое мышление, элементарные навыки абстрагирования, математическое моделирование развиваются у школьников в процессе решения текстовых арифметических задач, традиционно являющихся одним из основных видов учебной деятельности в 5 классе.

Распределение математического материала по формируемым элементам логического мышления.

Блок заданий	Формируемый прием
Решение текстовых задач с помощью составления схем	Анализ и синтез
Представление данных различными графическими способами	Сравнение
Задачи на части и уравнивание	Абстрагирование
Решение текстовых задач различными арифметическими способами	Абстрагирование Классификация
Обыкновенные дроби и действия с ними	Обобщение

Комплекс дидактических условий для развития элементов логического мышления пятиклассников.

1.  Каждый урок должен начинаться с решения заданий направленных на активизацию внимания, памяти, воображения (в традиционной парадигме – это актуализация знаний, умений и навыков).

2.  Актуализацию конкретного мыслительного приема необходимо связывать с математическим объектом (задача, схема - граф).

3.  Абстрагирование от конкретного содержания математической задачи должно предваряться решением ряда заданий с опорой на наглядно-действенное и наглядно-образное мышление.

4.  Развитие мыслительных приемов должно осуществляться в комплексе.

5.  Развитие рефлексии является одним из определяющих факторов успешной адаптации пятиклассников к новым условиям обучения.

6.  Специальная система математических задач – одно из условий процесса обучения школьников приемам логического мышления.

7.  Следует уделять внимание развитию познавательного интереса к предмету как наиболее важному в мотивационной сфере учащегося.

Для формирования и развития логического мышления в процессе решения текстовых арифметических задач необходимо использовать следующие типы заданий :

►  классификацию;

►  исключение "лишнего";

►  установление сходства, аналогии, закономерности, конкретизации понятия;

►  логическое умозаключение;

►  задачи на преодоление ригидности (инерционности) мышления.

Приобретаемые при этом навыки логического мышления (умение классифицировать, проводить аналогии, делать правильные умозаключения) составляют необходимый фундамент зрелости мышления

Программа по математике предусматривает следующие текстовые задачи:

·  Задачи на движение 4 ч.

·  на части 4 ч.

·  на уравнение 3 ч.

·  Нахождение дроби от числа и числа по его дроби 5 ч.

·  Задачи на совместную работу 4 ч.

Задачи на повторение 5 ч.

Рассмотрим основные этапы работы над текстовой задачей на нахождение дроби от числа и числа по его дроби с точки зрения выявления их развивающих возможностей.

Первый этап - чтение (осмысление) условия задачи, вычленение данных и искомых величин и установление взаимосвязей между ними.

В V классе анализ условия проводится в форме устного обсуждения, сопровождающегося краткой записью условия или его графической интерпретацией. Предметность, свойственная мышлению учащихся V классов, нуждается в подробном обсуждении ситуации, описанной в задаче, в ходе которого дети лучше представляют объекты и процессы, о которых идет речь. Обсуждение условия сопровождается выполнением поэтапных записей или постепенно усложняющегося рисунка-схемы. Скажем о них несколько слов.

Краткая запись условия - традиционная форма работы над фабулой задачи, однако зачастую ее считают лишь элементом оформления решения и тем сужают заложенные здесь развивающие возможности. При работе над краткой записью необходимо учитывать, что она требует ряда умозаключений, способствующих логическому развитию учеников, приобретению ими навыков лаконичного и четкого представления полученной информации. Удачно построенное краткое условие наталкивает ученика на путь решения, а возникающая подчас необходимость переформулировать условие, представить его в удобном для работы виде является, по существу, первым шагом решения.

Альтернативой обучению решать классы задач является выявление их математической сути. Этому помогает моделирование содержание задачи с помощью графических схем. Ребят необходимо учить моделированию условия задачи и переводу его с языка русского на язык математический. Приведу пример работы над решением сложной задачи № 000 из учебника «Математика 5» под редакцией , из раздела «Решение задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби»

Подготовительные упражнения :

Задания на классификацию.

Они заключаются в делении содержания понятия на группы. Например, все де­ревья делятся на хвойные и лиственные; арифметические действия делятся на деление, умножение, сложение и вычи­тание. Посмотрите на схему:

Арифметические действия

Сложение? Деление Умножение

Что можно поставить на место пропуска? Если бы вы хо­тели включить в эту схему понятие «деление с остатком», куда бы вы должны были его поставить?

Примеры тренировочных заданий

1) печатные издания а) «Мурзилка»

б) газета

1 2 в) детский журнал

г) «Российские вести»

5 3 4 д) журнал

5

2)  1 а) воспитатель детского сада

б) водитель троллейбуса

Педагог 2 в) профессия

г) водитель

3 4 5 д) учитель

Учитель истории

Основное задание

1 а) 121

б) 37

Простое число 2 в) натуральные числа

г) 57

3 4 5 д) составное число

1. Сделай в тетради такой же рисунок и закрась указанную часть соответствующей фигуры :

а) 3/8

б) 3/4

в) 3/5

2)Найди 2/5 от 35 3)Найди число, если 1/2 его равна 7. 4)Выбери соответствующую данной задаче схему. Запиши решение задачи.

Задача №15. (Учебник «Математика 5» )

Туристы в первый день прошли 14 километров, что составило 7/10 всего пути. Какой путь должны пройти туристы?

? 14 км

1) ·--·--·--·--·--·--·--·--·--·--· 2) ·--·--·--·--·--·--·--·--·--·--·

14 км ?

? ?

3) ·--·--·--·--·--·--·--·--·--·--· 4) ·--·--·--·--·--·--·--·--·--·--·

14 км 14 км

Задача №16. (Учебник «Математика 5» )

Туристы в первый день прошли 7/10 всего пути. Сколько это

километров, если всего им надо пройти 21 километр?

21 км 21 км

1) ·--·--·--·--·--·--·--·--·--·--· 2) ·--·--·--·--·--·--·--·--·--·--·

? ?

21 км 21 км

3) ·--·--·--·--·--·--·--·--·--·--· 4) ·--·--·--·--·--·--·--·--·--·--·

? 21 км

Затем проговариваются два типа задач, повторяются правила. Первый тип задач: Сыну 8 лет, его возраст составляет 2/9 возраста отца. Возраст отца составляет 3/5 возраста дедушки. Сколько лет дедушке?

Ход и обсуждение решения задачи можно представить в виде таблицы:

Действия учителя	Действия учеников	Запись на доске
Что требуется определить в задаче?	Сколько лет дедушке
Какую часть возраста дедушки составляет возраст отца?	Возраст отца составляет 3/5 возраста дедушки	3/5 возраст отца   ·---·---·---·---·---·   Возраст дедушки - ?
Что известно о возрасте отца?	Известно, что сыну 8 лет и его возраст составляет 2/9 возраста отца	2/9 возраст сына   ·---·---·---·---·---·---·---·---·---·   8 возраст отца - ?
Можно ли найти возраст отца? К какому типу относится эта задача?	Как найти целое по его части, т. е. число разделить на дробь	8 : 2/9 = 36 (лет) отцу
Можно ли теперь ответить на вопрос задачи?	Да. 3/5 составляет 36 лет.	36 : 3/5 = 60 (лет) дедушке

Второй тип задач: Машинистка перепечатала треть всей рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

Действия учителя	Действия учеников	Запись на доске
Что требуется определить в задаче?	Сколько страниц в рукописи	·------------------------·
Какую часть она перепечатала?	Половину	½ ·-----------·-------------·   рукопись
Что известно о напечатанной половине?	Это 1/3 рукописи и ещё 10 страниц	½ ·------------·-------------·   ·-------·----·-------------·
Можно ли узнать, какую часть рукописи составляют 10 страниц?	Можно	1/2 - 1/3 = 1/6
Можно ли найти целое по его части?	Целое составляет 10 страниц, это 1/3	10 : 1/6 = 60 ( страниц) – половина рукописи
Можно ли теперь ответить на вопрос задачи?	Да, 120 страниц.	60 × 2 = 120 (страниц) – вся рукопись Или 60 : 1/2 = 120 (страниц) – вся рукопись

Дифференцированный подход в обучении решению текстовых арифметических задач уместнее использовать на уроках закрепления, когда можно осуществлять индивидуальный подход к учащимся, исходя из уровня развития их логических и вычислительных умений и навыков. Примером такой работы могут служить «Уроки 9 задач». На этих уроках создается база для развития познавательной активности математического творчества. Это уроки стимулирующего контроля и диагностики, на котором созданы условия для работы каждого ученика, где есть возможность вовремя помочь тому, кому трудно, увидеть того, кому пора создать более высокие интеллектуальные трудности, урок, на котором идет развитие учеников с различными подструктурами мышления. Необычная форма урока не утомляет, а вызывает большое желание работать.

После звонка в течение 3-5-ти минут повторяем теорию. Затем переходим к задаче 1. Если большинство учащихся поднимают руки, т. е. знают, как ее решать, мы сразу переходим к задаче 2. Если она вызывает затруднение у большинства у большей части учащихся, то решаем ее вместе и т. д. Когда решена последняя задача, спрашиваю: «Кто знает решения всех задач». Находятся 1-5 человек. Они являются помощниками. Те учащиеся, у которых вызывает затруднение одна задача, задают вопросы любому из помощников. После снятия затруднений число помощников увеличивается и т. д. Если помощь консультантов не нужна, то учащиеся получают индивидуальное задание.

Урок «9 задач» - это:

1) урок, на котором нет отсутствия мысли, т. к. каждый ученик 15-20
минут говорит сам;

2)  консультация: есть возможность побывать в роли учителя, помочь однокласснику;

3)  урок, который помогает не допускать пробелов в знаниях учащихся;

4)  урок, который не допускает «забывания» ранее изученного материала;

5)  урок, который помогает систематизировать материал;

6)  урок, на котором все ученики чувствуют себя уверенно и свободно;

7)  урок, который развивает активность, самостоятельность, познавательный интерес.

8)  урок, на котором осуществляется пропедевтика;

9)  большой зачет; маленький экзамен;

10)  праздник;

11)  один из самых результативных уроков. «Плюсы» урока «9 задач»

•  Учащиеся сознательно приходят к необходимости знания теории.

•  Учащиеся учатся рассуждать.

•  Учащиеся учатся говорить.

•  Учащиеся очень увлекаются.

Главное в работе

•  Развиваю познавательный интерес учащихся.

•  Управляю процессом усвоения.

•  Создаю хороший микроклимат, эмоциональный настрой.

•  Одобряю учеников за любой вопрос к учителю, стараюсь доказать всему классу, почему именно этот вопрос важен.

•  Замечаю рост каждого ученика.

•  Стремлюсь к тому, чтобы учащиеся, как в классе, так и дома, как можно больше работали самостоятельно.

Предлагаю подборку задач к такому уроку в 5 классе по теме «Решение задач на дроби».

№1	№2	№3 Около каждой фигуры (рис. 3) записана ее площадь. Найдите площадь заштрихованной части. Чему равна площадь незаштрихованной части фигуры?
№4	№5	№6
№7	№8	№9

Также для индивидуального формирования и развития элементов логического мышления пятиклассников использую разноуровневые задания – карточки с опорным материалом в виде рисунков и графических схем, а также на восстановление текста задач путём анализа исходных данных. Приведём примеры подобных карточек при изучении темы «Решение задач на движение».

1.Подбери задачу по краткой записи

(тип задания на выведение логического умозаключения)

	V	t	S
I	1	2	?
II	2	3	?

1)  Стрекоза пролетает 1 км за 2 часа. Какое расстояние она пролетит за 3 часа

Или

2)  Черепаха 2 часа ползла со скоростью 1 км/ч и 3 часа со скоростью 2 км/ч. Какое расстояние проползет черепаха за 5 часов?

2. Подбери задачу по схеме

( задания на установление сходства, аналогии)

	время	объем	производительность
I	3	6	?
II	4	4	?

6

I ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­-­­­­­­­­­­­­­­­---------------------------

3

4

II -----------------

4

1)  Даша почистила 3 апельсина за 6 минут, а Саша почистил 4 апельсина за 4 минуты. Кто из них чистит апельсин быстрее и на сколько?

2)  Даша почистила 6 апельсинов за 3 минуты, а Саша почистила 4 апельсина за 4 минуты. Кто из них чистит апельсин быстрее и на сколько?

3 . Выбери верный ответ

(задания на исключение лишнего)

1)Токарь вытачивает 480 деталей за 6 часов, а его ученик такое же количество деталей за 12 часов. Чему равна производительность токаря, ученика?

( 80 .60) (80 . 40) (100. 36 )

3)  Токарь вытачивает 480 деталей за 6 часов, а его ученик такое же количество деталей за 12 часов. На сколько производительность токаря больше производительности ученика?

( на 20 ) ( на 40 ) ( на 30 )

4.Подбери схему

(задания на установление сходства)

3)  В коробке 2 литра сока, а в бутылке 1 литр сока. Определи какая схема соответствует задаче.

▪----▪----▪ ▪----▪---▪---▪ ▪-----▪----▪-----▪

▪----▪ ▪----▪----▪ ▪-----▪

Таким образом, в процессе обучения пятиклассников различным способам решения текстовых арифметических задач, можно и даже необходимо развивать такие элементы логического мышления, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, выделение существенных признаков, на которых базируются умения решать любые познавательные задачи. Формирование общеучебных умений и навыков работы является одной из основных задач, заявленных в образовательных стандартах как одна из важнейших целей современного образования.

Одним из самых сложных и трудоемких этапов работы по развитию логического мышления учащихся является диагностика. Не существует специальных методик, изучающих уровень развитости отдельных операций логического мышления в связи с конкретным учебным предметом, поэтому эта работа требует помощи психолога. Сам процесс диагностики трудоемок и требует больших временных затрат, что создает определенные трудности. В нашем случае для анализа уровня сформированности элементов логического мышления были использованы следующие методики входной и выходной диагностик:

►  Методика «Недостающие буквы в словах»

►  Методика «Выделение существенных признаков»

►  Методика «Исключение понятий»

►  Методика «Образование простых аналогий»

Результаты диагностики показали, что в результате целенаправленной работы над развитием таких операций логического мышления, как сравнение, анализ, синтез и обобщение, в развитии учащихся произошли положительные изменения: у большинства детей увеличилась динамичность мышления, улучшились способности выделять существенные признаки предметов, выстраивать простые абстрактные логические отношения, повысился уровень процессов обобщения.

Наиболее сложным видом работы для детей и на начало и на конец педагогического эксперимента оказалась методика «Образование простых аналогий», которая позволяет судить не только об уровне развития мышления у детей, умения выявлять характер логических связей и отношений между понятиями, но и преобладании наглядных или логических форм мышления. Мы можем предположить, что это связано как с возрастными особенностями учащихся, так и с индивидуальными особенностями мышления (6 учащихся класса – «левши»).

Сравнительные результаты диагностик представлены на приведённых ниже диаграммах.

Показатели динамичности мышления

Выделение существенных признаков

Исключение понятий

Образование простых аналогий

Проделанная работа по формированию и развитию логического мышления у детей дала свои положительные результаты. Полученные данные дают возможность предположить, что у детей произошел прирост в показателях развития логического мышления. Разумеется, затронутая проблема достаточно глубинна и объёмна и требует не одного года кропотливой работы не одного только учителя математики, поэтому развитию элементов логического мышления у учащихся необходимо уделять постоянное внимание на протяжении всего процесса обучения в школе и на других предметах.