Первая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами для трианалитических функций в случае полуплоскости (стр. 2 )

Замечание 1. В узлах контура функция может иметь только разрывы первого рода.

Класс функций, принадлежащих классу вместе со своими производными до порядка включительно, будем обозначать через .

Замечание 2. Производные функции могут иметь разрывы первого рода не только в узлах контура . Точки разрыва производных мы для удобства будем причислять к узлам.

Пусть функция является аналитической в некоторой области , содержащей бесконечно удаленную точку.

Определение 2. Функция называется ограниченной в точке , если разложение в ряд функции в окрестности этой точки имеет вид

, где .

Определение 3. Число называется порядком функции в точке , если разложение в ряд функции в окрестности этой точки имеет вид

, где ().

Известно, что в случае полуплоскости кусочно-трианалитическую функцию с линией скачков и исчезающую на бесконечности можно представить в виде:

где , а () – однозначные аналитические функции (аналитические компоненты трианалитической функции) в .

В дальнейшем будем говорить, что трианалитическая в области функция и трианалитическая в области функция принадлежит классу , если они непрерывно продолжаются на контур вместе со своими частными производными , причем так, что граничные значения этих функций и всех указанных производных функциями почти второго порядка.

3. Постановка задачи. Пусть , и .

Рассмотрим следующую краевую задачу. Требуется найти все трианалитические функции и , принадлежащие классу , ограниченные вблизи узлов контура , исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие во всех обыкновенных точках следующим краевым условиям:

, (1)

, (2)

, (3)

где , - заданные на L функции класса (), причем всюду на . Здесь множители при соответственно введены для удобства в дальнейших обозначениях.

Сформулированную задачу будем называть первой основной краевой задачей типа Римана с разрывными коэффициентами для трианалитических функций в случае полуплоскости или задачей в случае полуплоскости, а соответствующую однородную задачу () назовем задачей в случае полуплоскости.

4. О решении задачи в случае полуплоскости. Известно, что в случае полуплоскости кусочно-трианалитическую функцию с линией скачков и исчезающую на бесконечности можно представить в виде:

(4)

где () - аналитические в области функции, для которых выполняются условия:

, .

Будем искать решение задачи в виде:

, (5)

где () - аналитические в области функции, связанные с аналитическими компонентами искомой кусочно-трианалитической функции формулами:

, (6)

, (6)

. (6)

Учитывая соотношения

, (6)

и замечая, что на контуре справедливо равенство , краевые условия (1), (2) и (3) можно переписать в виде:

, (7)

, (8)

. (9)

где

, (9)

, (9)

.(9)