Введем в рассмотрение функции
, 
(10)
аналитические в области 
.
Тогда равенства (7), (8) и (9) примут вид:
, (11)
, (12)
. (13)
Равенства (11), (12) и (13) представляют собой краевые условия обычных задач Римана для аналитических функций с разрывными коэффициентами в случае полуплоскости.
Таким образом, решение задачи 
в случае полуплоскости сводится к последовательному решению трех краевых задач Римана в классах кусочно-аналитических функций с линией скачков 
. Поскольку решения исходной задачи должны быть ограничены в окрестности узлов и исчезать на бесконечности, то сначала требуется определить классы, в которых следует искать решения вспомогательных краевых задач (11), (12) и (13).
Из равенств (6) видно, что функции 
() должны иметь на бесконечности нуль третьего порядка.
Оценим функцию 
в окрестности узлов. Пусть 
- любой из узлов, тогда справедливо соотношение 
.
Имеем следующую оценку:
(14)
Таким образом, для того чтобы искомая трианалитическая функция 
была ограничена вблизи узлов, необходимо и достаточно, чтобы функции 
() удовлетворяли неравенствам вида:
, 
. (15)
В самом деле, если функции (
) удовлетворяют условию (15), то функции 
и 
будут ограниченны вблизи узла . Тогда, в силу соотношений (14) искомая кусочно-трианалитическая функция будет ограничена вблизи узла .
Обратное утверждение также справедливо. Пусть функция класса 
ограничена вблизи узла , тогда функции () должны допускать оценку (15) (так как в противном случае не будут найдены все решения поставленной задачи).
Итак, решение вспомогательных задач (11), (12) и (13) требуется искать в классе функций, имеющих на бесконечности ноль третьего порядка и бесконечность интегрируемого порядка в узлах контура 
, т. е. в классе 
.
Таким образом, справдлив следующий основной результат.
Теорема 1. Пусть 
, 
и 
. Тогда решение в случае полуплоскости сводится к последовательному решению трех скалярных задач Римана (11), (12) и (13) в классе функций, имеющих на бесконечности ноль третьего порядка и бесконечность интегрируемого порядка в узлах контура . Задача разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы задачи (11), (12) и (13) в указанном классе функций.
Решим краевую задачу Римана (11) методом, предложенным в монографии .
Выберем для всех узлов контура 
значения 
следующим образом:
. (6)
Возьмем в качестве начальной точки 
обхода прямой какую-либо ее точку, отличную от узлов, и произведем обход от до 
, а затем от 
до . Если бесконечно удаленная точка принадлежит к числу узлов, то для этой точки под 
и 
следует соответственно понимать 
и 
.
Тогда индекс задачи (11) будет задаваться формулой:
. (6)
Таким образом, если 
, то общее решение задачи (11) будет иметь вид:
, (16)
где 
- каноническая функция задачи (11), 
- многочлен степени не выше 
с произвольными комплексными коэффициентами.
Если 
, то общее решение задачи (11) по-прежнему будет выражаться формулой (16), в которой надо положить 
, при соблюдении 
условий разрешимости вида:
, 
. (17)
По найденной функции 
с помощью интегрирования получим
, (18)
где интегрирование производится вдоль 
- произвольной гладкой кривой, полностью лежащей в области 
, соединяющей бесконечно удаленную точку с некоторой произвольной точкой области (здесь мы учли, что 
).
Пусть теперь в выражении (16) 
стремится к точке 
контура , отличной от узлов. Тогда с учетом формул Сохоцкого-Племеля, получим:
, (19)
. (20)
В последнем равенстве было учтено, что 
.
Подставим найденные по формулам (19), (20) предельные значения функции 
в свободный член задачи (12).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
