Решим теперь краевую задачу Римана (12) тем же методом.

Выберем для всех узлов контура значения следующим образом:

. (6)

Возьмем в качестве начальной точки обхода прямой какую-либо ее точку, отличную от узлов, и произведем обход от до , а затем от
до . Если бесконечно удаленная точка принадлежит к числу узлов, то для этой точки под и следует соответственно понимать и .

Тогда индекс задачи (12) будет задаваться формулой:

. (6)

Таким образом, если , то общее решение задачи (12) будет иметь вид:

, (21)

где - каноническая функция задачи (8), - многочлен степени не выше с произвольными комплексными коэффициентами.

Если , то общее решение задачи (12) по-прежнему будет выражаться формулой (21), в которой надо положить , при соблюдении условий разрешимости вида:

, . (22)

По найденной функции с помощью интегрирования получим

, (23)

где - произвольная гладкая кривая, полностью лежащая в области и соединяющая бесконечно удаленную точку с некоторой произвольной точкой области (здесь мы учли, что ).

Пусть теперь в выражении (21) стремится к точке контура , отличной от узлов. Тогда с учетом формул Сохоцкого-Племеля, получим:

, (24)

. (25)

В последнем равенстве было учтено, что .

Подставим найденные по формулам (24), (25) предельные значения функции в свободный член задачи (13).

Решим теперь краевую задачу Римана (13) методом изложенным выше.

Выберем для всех узлов контура значения следующим образом:

. (6)

Возьмем в качестве начальной точки обхода прямой какую-либо ее точку, отличную от узлов, и произведем обход от до , а затем от
до . Если бесконечно удаленная точка принадлежит к числу узлов, то для этой точки под и следует соответственно понимать и .

Тогда индекс задачи (13) будет задаваться формулой:

. (6)

Таким образом, если , то общее решение задачи (13) будет иметь вид:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (26)

где - каноническая функция задачи (13), - многочлен степени не выше с произвольными комплексными коэффициентами.

Если , то общее решение задачи (13) по-прежнему будет выражаться формулой (26), в которой надо положить , при соблюдении условий разрешимости вида:

, . (27)

Далее по найденным , и , используя формулы (6), восстанавливаем аналитические компоненты искомой кусочно-трианалитической функции , и , а затем и саму кусочно-трианалитическую функцию по формуле (4).

5. Исследование картины разрешимости задачи в случае полуплоскости. Поскольку решение задачи в случае полуплоскости сводится к последовательному решению трех краевых задач Римана (11), (12) и (13), то картина разрешимости задачи , в силу формулы, будет складываться из картин разрешимости вспомогательных краевых задач (11), (12) и (13).

В дальнейшем число будем называть индексом задачи в случае полуплоскости, а числа , и - ее частными индексами.

Для полного исследования картины разрешимости задачи в случае полуплоскости нужно рассмотреть 27 случаев.

1) Пусть , , .

В этом случае краевые задачи (11), (12) и (13) безусловно разрешимы и имеют , и линейно независимых решений соответственно.

Таким образом, в данном случае задача безусловно разрешима и, в силу формулы (5), ее общее решение линейно зависит от произвольных комплексных постоянных.

2) Пусть , ,

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7