Математическая модель «гибели и размножения»

5.5. Математическая модель «гибели и размножения»

Название пришло из биологии. Оказалось, что эту модель можно применять для достаточного большого класса СМО. Модель позволяет из уравнений Колмогорова сразу получать аналитические выражения для различных характеристик эффективности систем.

Граф состояний некоторой СМО по модели «гибель и размножение»:

 

Состояния СМО (всего N+1 состояний):

S0 - все каналы свободны,

S1 - занят ровно один канал, остальные свободны,

Sk - заняты ровно k каналов, остальные свободны,

SN - заняты все N каналов.

k - количество требований в системе,

N-количество приборов (каналов),

l - интенсивность поступления требований в систему (количество требований в единицу времени),

m - интенсивность обслуживания (скорость обслуживания - количество требований, обслуженных в единицу времени).

При возможен расчет по следующим формулам:

Вероятность нахождения в системе k требований

(4.1)

Вероятность простоя системы

(4.2)

5.6. Математическая модель СМО без отказов(с ожиданием)

Рассмотрим разомкнутую СМО без отказов. Имеем N-каналов, на которые с интенсивностью l поступают требования, m - интенсивность обслуживания одним каналом.

Состояния системы:

S0- система простаивает,

S1- занят 1 канал,

S2- занято 2 канала,

SN - заняты все N каналов,

SN+1- все каналы заняты и одно требование в очереди и т. д.

Граф состояний для разомкнутой СМО без отказов:

 

Т. к. входящий поток бесконечный, то интенсивности постоянные.

В соответствии с моделью «гибель и размножение»:

№	Характеристика	Формула
1	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)
2	Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящейся на один канал (пропускная способность системы). Если ψ<1, то система справляется и очередь конечная. Поэтому остальные характристики имеют смысл только при ψ<1.
3	Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы)
4	Вероятности состояний
5	Вероятность отказа
6	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
7	Среднее число занятых каналов — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
8	Среднее число заявок, находящихся в очереди
9	Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием)
10	Среднее время ожидания заявки в очереди
11	Среднее время обслуживания одной заявки
12	Среднее время пребывания заявки в системе

5.7. Математическая модель с ожиданием и ограничением на длину очереди

Рассмотрим разомкнутую СМО с потерями в случае, когда все каналы и места в очереди заняты. Имеем N-каналов, на которые с интенсивностью l поступают требования, m - интенсивность обслуживания одним каналом, m – ограничение на количество мест в очереди.

Состояния системы:

S0- система простаивает,

S1- занят 1 канал,

S2- занято 2 канала,

…

SN - заняты все N каналов,

SN+1- все каналы заняты и одно требование в очереди

…

SN+m - все каналы заняты и все m мест в очереди также заняты, заявка получает отказ

Граф состояний для разомкнутой СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди:

 

Т. к. входящий поток бесконечный, то интенсивность входного потока постоянна.

В соответствии с моделью «гибель и размножение»:

№	Характеристика	Формула
1	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)
2	Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящейся на один канал (пропускная способность системы).
3	Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы)
4	Вероятности состояний
5	Вероятность отказа
6	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
7	Среднее число занятых каналов — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
8	Среднее число заявок, находящихся в очереди
9	Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием)
10	Среднее время ожидания заявки в очереди
11	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам – как обслуженным, так и получившим отказ
12	Среднее время пребывания заявки в системе

5.8. Математическая модель СМО с отказами и бесконечным источником требований

Имеем N-каналов, на которые с интенсивностью простейшего входящего потока l поступают требования. Непрерывная случайная величина - время обслуживания одной заявки одним каналом, распределена по показательному закону с параметром m. m - это интенсивность обслуживания одним каналом. В истеме не может быть очереди: когда все каналы заняты, то заявка получает отказ.

Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов. Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис.

Состояния системы:

S0- система простаивает,

S1- занят 1 канал, остальные свободны

S2- занято 2 канала, остальные свободны

…

SN - заняты все N каналов, при поступлении заявки она получает отказ

Граф состояний для разомкнутой СМО без отказов:

 

Т. к. входящий поток бесконечный, то интенсивности постоянные.

В соответствии с моделью «гибель и размножение»:

№	Характеристика	Формула
1	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)
2	Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы)
3	Вероятности состояний
4	Вероятность отказа
5	Вероятность того, что заявка будет принята в СМО
6	Среднее число занятых каналов — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием. Оно равно среднему числу заявок, находящихся в СМО (очереди нет)
7	Среднее время пребывания заявки в системе

5.9. Математическая модель замкнутой многоканальной СМО

До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность входящего потока заявок не зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок является внешним по отношению к СМО и генерирует неограниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых зависит от состояния системы, при чем источник требований является внутренним и генерирует ограниченный поток заявок.

Например, обслуживается машинный парк, состоящий из m машин, бригадой N механиков (m>N), причем каждая машина может обслуживаться только одним механиком.

Здесь машины являются источниками требований (заявок на обслуживание), а механики - обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и становится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания. В рассматриваемой модели емкость источника требований следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин, которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. Требование, поступившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из каналов не станет свободным. Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.

Таким образом, имеем N-каналов и конечный источник m заявок (m>N). Каждый источник заявок порождает простейший поток заявок с интенсивностью l. Производительность каждого канала – интенсивность потока обслуживания m.

Состояния системы:

S0- система простаивает,

S1- занят 1 канал,

S2- занято 2 канала,

SN - заняты все N каналов,

SN+1- все каналы заняты и одно требование в очереди

…

Sm - все каналы заняты и (N-m) требований в очереди, источник заявок пуст

Граф состояний для замкнутой СМО без отказов:

 

В соответствии с моделью «гибель и размножение»:

№	Характеристика	Формула
1	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)
2	Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой всеми m источниками заявок
3	Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы)
4	Вероятности состояний В формуле используется - число сочетаний из m по k
5	Среднее число занятых каналов — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
6	Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием) – среднее число источников в пассивном состоянии
7	Среднее число заявок, находящихся в очереди
8	Среднее время ожидания заявки в очереди
9	Среднее время обслуживания одной заявки
10	Среднее время пребывания заявки в системе