Дидактический материал по теме: "Показательные уравнения" (математика, 10 класс) (стр. 1 )

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №2»

Дидактический материал по теме:

"Показательные уравнения"

(математика, 10 класс)

учитель математики и информатики,

I квалификационная категория

г. Радужный

2009

Пояснительная записка

В различных теоретических и практических исследованиях часто приходится сталкиваться с необходимостью решения показательных уравнений. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание.

Показательные уравнения, изучаемые в старшей школе, осваиваются учащимися хуже, так как на их рассмотрение отводится незначительное количество часов, а при их решении ученику необходимо владеть комплексом умений, полученных в основной школе, а также новыми знаниями, связанными с каждым из новых видов уравнений. Такого объема упражнений, который обычно предлагается в учебниках по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов, явно недостаточно для формирования умения решать показательные уравнения. Восполнить этот пробел помогут данные дидактические материалы.

В дидактических материалах предоставлены теоретические материалы по теме «Показательные уравнения», рассмотрены методы решения уравнений, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Это пособие поможет подготовиться к ЕГЭ по математике.

Цель работы направлена на обучение решения показательных уравнений стандартного вида. При подготовке к ЕГЭ эти задачи входят в группы А и В.

Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Это позволяет быстро и легко изучить теоретический материал и отработать его на практике. Главная задача работы заключается в том, чтобы объяснение было доступно каждому ученику независимо от его успеваемости в школе.

Данные дидактические материалы можно использовать, как в школе, так и для индивидуального обучения, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по теме «Показательные уравнения». Теория написана доступным языком даже для тех, кто плохо усваивает учебный материал. Практические задачи подобраны так, чтобы начать с самых простейших уравнений и закончить более сложными.

Предлагаемое пособие состоит из трёх блоков. В первом блоке рассмотрен краткий теоретический материал, способствующий более эффективному развитию навыков решения уравнений и неравенств. Во втором блоке рассмотрены решения типовых примеров. В третьем блоке предложены задания для самостоятельной работы (тренажёр, тесты, индивидуальные задания).

Данные дидактические материалы создают условия для открытия новых знаний: методов решения показательных уравнений, формирования умений и навыков правильно определять и применять эти методы при решении конкретных показательных уравнений.

Они способствуют развитию моторной и смысловой памяти, умений анализировать, сравнивать, отбирать теоретический материал, умений отбирать ключевые задачи по теме и методы их решения. Так же они способствуют становлению информационной компетенции (работа со справочником, дополнительной литературой).

Теоретический материал и задания данных дидактических материалов построены в соответствии с требованиями государственного стандарта, на основе материалов учебника и дополнительных сведений из области дидактики. Материалы могут использоваться при прохождении соответствующей темы по любому из ныне принятых стандартных учебников.

Блок 1: «Показательные уравнения»

1.  Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

2.  Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.

3.  Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

4.  Функция, заданная формулой у = ах (где а > 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) = R+ (область значений – все положительные числа).

При а > 1, функция возрастает. При 0 < а < 1, функция убывает.

Определение 1. Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Например: .

Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида:

.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида: 1) af(x) = ag(x) или 2) af(x) = b. Очевидно, что уравнение типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного логарифмического тождества: 3 af(x)= . Уравнение (1) равносильно уравнению f(x) = g(x) при а > 0, а ¹ 1. Этот переход называется потенцированием.

Блок 2: «Виды показательных уравнени и способы их решения»

1вид: уравнения, решаемые приведением к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней: Определения и свойства степени Примеры Определения: 1) a 1 = а (а R) 2) а n = а ∙ а ∙... a (а R, n N, n 0) 3) а 0=1 (а0, аR) 4) а -n = (а0, а с R, n N) 5) = (n N, m Q, а >0) (-1,7в)1 = -1,7в (-1,7в)3 = (-1,7в) (-1,7в) (-1,7в) = -4,913 (—1,7 в)0=1, если в 0 (—0,25) -3 = = (-4)3 = 64 = = == 8 Свойства: Примеры ах · ау = ах+у (ах)у = аху ах : ау = ах-у ах · bх = (аb)х = m1,5 ∙ m-2 = m1,5+(-2)= m-0,5 l,53х.1,5 -0,5х= 1,52,5х =(0,25)-2 = 42 = 16 (5х)2 = 52х = (52)х = 25х m1,5 : m-2 = m1,5-(-2)= m3,5 l,53х : 1,5 -0,5х= 1,53,5х 32х · 52х = (3∙5)2х =152х =34=81 а) . Проверка: ; ; =; Ответ: х =; б) . Решение: ; ; ; ; ; ; (х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10. Проверка: х=10. ; ; ; ; =– верно. Ответ: х=10; в) . Решение: ; ; ; ; ; x=1. Проверка: ; ; =– верно. Ответ: х=1; г) . Решение: ; ½3х–4½=4х–4, для х ³имеем ½3х–4½=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде 3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х <имеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х=. Проверка: х=0. ; ; – не верно. х=. ; ; – верно. Ответ: х=. 2 вид – уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi. Пример: а) . Решение: . Обозначаем: = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2=. Получаем: 1. =3; ; ; х1=2.  2. =; ; ; х2=–2. Проверка: 1. ; 3×9–10×3+3=0 – верно. 2. ; ; – верно. Ответ: х=2; х=–2; б) . Решение: . Пусть 4х=y, y2+12y–64=0, y1,2=–6±=–6±10, y1=4; y2=–16 (п. к.), т. к. 4х > 0, 4х=4 Þ х=1. Проверка: ; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно. Ответ: х=1; в) . Решение: , . Пусть , ,, , ; ; ; ; ; ; x=20. Проверка: x=20. , – верно. Ответ: х=20. г) . Решение: . Пусть ; тогда уравнение запишем в виде ; y1,2=2; y1=3 и y2=1; или ; x2–1=1; x2–1=0; x=; x= ±1. Проверка: x=; ; 9–12+3=0 – верно; х= ±1; ; 1–4+3=0 – верно. Ответ: x=; х=±1. 3 вид – уравнения, решаемые методом вынесения общего множителя за скобки: а) . Решение: ; ; ; ; ; ; х=0. Проверка: ; ; 0,992=0,992 – верно. Ответ: х=0; б) . Решение: ; ; ; ; х=0. Проверка: ; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно. Ответ: х=0; в) . Решение: ; ; ; ; ; ; х=2. Проверка: ; ; 2–8+3=–3; –3=–3 – верно. Ответ: х=2. 4 вид – уравнения вида решаются путем деления членов на или . а) . Решение: Делим на . ; . Положим , тогда имеем ; . Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2=. следовательно: ; . Проверка: х=0; ; 3+2=5 – верно; х=; ; 12+18=30 – верно. Ответ: х=0; х=. б) . Решение: ; . Разделим обе части данного уравнения на . ; . Пусть , тогда уравнение примет вид: ; , ; ; ; ; . Проверка: ; . Делим на . ; ; ; 6=6 – верно; ; . Делим на ; ; ; 6=6 – верно. Ответ: ; .

Блок 3: Задания для самостоятельной работы