Деформация пленки выражается через изгибную координату пленки , отвечающую за смещение точки срединной плоскости пленки по от равновесного положения:

, (14)

где – коэффициент Пуассона пленки.

Уравнение для вектора смещения среды в пленке, который появляется вследствие изгиба пленки

, (15)

где – это соответственно продольная и поперечная компоненты скорости звука в субстрате.

Граничные условия в двумерном случае:

, (16)

, (17)

, , (18)

где .

Система нелинейных уравнений, включающая в себя уравнение диффузии для плотности дефектов на поверхности (13); уравнение для координаты изгибной деформации пленки (14) и уравнение для вектора смещения среды в пленке (15), дополненное граничными условия (16)–(18), представляет собой исходные уравнения для анализа решений системы.

В третьей главе представлены результаты исследований упорядочения дефектов в керамических материалах после облучения.

Разработанные авторами [3, 4] модели упорядоченной структуры радиационных точечных дефектов не достаточно полно описывают процесс образования указанных выше структур вследствие того, что в уравнениях не учитывается рекомбинация дефектов. Таким образом, нами было внесено в уравнение для концентрации дефектов типа слагаемое, учитывающее время жизни дефекта типа . Проведен качественный анализ системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих возникающую диффузионно-деформационную неустойчивость вследствие воздействия облучения на кристалл, на основании которого была получена оценка для периода двумерной структуры точечных дефектов. А также, установлено, что образование двумерных поверхностных решеток точечных дефектов в щелочно-галоидных кристаллах NaCl, KCl, LiF адекватно можно описать с помощью математической модели образования мелкомасштабных (нанометровых) упорядоченных структур, представленной в работе пункте 3.1, что подтверждается сравнением с экспериментальными данными.

В пункте 3.2 представлена математическая модель упорядочения дислокаций в кристаллической фазе керамических материалов на основе после нейтронного облучения и оценка периода, образующейся при этом, решетки плотности дислокаций. Рассматриваемая модель радиационного упорядочения дислокаций в керамических материалах основана на представлениях модели дислокационно-деформационной неустойчивости [5], которую можно интерпретировать как межплоскостную.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

За счет вызванной термическими напряжениями деформации в приповерхностном слое возникают краевые дислокации, после скольжения которых на плоскости формируются следы в виде наборов линий. Будем считать, что ось перпендикулярна этим линиям. При возникновении пространственно-неоднородной плотности дислокаций вдоль оси возникает связанное с ней пространственно-неоднородное распределение деформации , что приводит к появлению деформационно-индуцированных потока вакансий

,

где – коэффициент диффузии вакансий, – концентрация вакансий, , – модуль всестороннего сжатия, – размер кристаллической ячейки, – постоянная Больцмана [5, 6].

Поток вакансий инициирует поток дислокаций

,

где – плотность дислокаций. Из уравнения непрерывности для плотности дислокаций и соотношения вытекает уравнение для плотности числа дислокаций [5, 7]

(19)

где – пространственно-однородный источник генерации дислокаций, определяющий однородную вдоль плотность дислокации ; – коэффициент диффузии дислокаций; – вектор смещения среды с дислокациями.

Поверхностный слой с большой плотностью дислокаций можно рассматривать как пленку толщины на подложке. Будем считать, что ось направлена вглубь материала, так что плоскость совпадает с границей раздела поверхностного слоя с подложкой.

Деформация пленки выражается через изгибную координату пленки , то есть через смещение точек средней плоскости пленки по от равновесного положения. Уравнение для смещения имеет вид [7]

, (20)

где ; – модуль Юнга; – коэффициент Пуассона; , – перпендикулярное к поверхности пленки напряжение.

Изгибная координата связана с деформацией пленки как [7]

. (21)

Изгиб пленки вызывает появление деформации среды:

, (22)

где – вектор смещения среды, – поперечная и продольная скорости звука в подложке, , – модуль Юнга; – плотность подложки, – коэффициент Пуассона.

На границе раздела пленка-подложка смещение вдоль оси происходит непрерывно, то есть

, (23)

, (24)

где – модуль сдвига, .

Нормальное напряжение в подложке определяет силу, действующую на пленку по оси

, (25)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5