Урок 3. Избранные задачи по стереометрии (стр. 2 )

Решение. Рассмотрим чертеж пирамиды (рисунок 3). Проведем плоскость, параллельную прямым и так, чтобы сразу увидеть точку ее пересечения с прямой и расположение плоскости по отношению к пирамиде. Это можно сделать, если провести и (рисунок 4).

Обозначим плоскость через . Построив , получим сечение пирамиды плоскостью . Чтобы спроектировать прямую на плоскость , проведем и (рисунок 5). Так как , то плоскости и перпендикулярны, следовательно, . Поэтому прямая является проекцией на плоскость , а искомый угол совпадает с одним из острых углов прямоугольного треугольника . Остается выполнить вычисления.

Таким образом, треугольник прямоугольный и равнобедренный. Поэтому , .

Окончательно получаем

Ответ: .

Вопрос. Как решить эту задачу с помощью метода координат?

7.3. Касание сферы с плоскостью

Пусть сфера с центром касается плоскостей и , пересекающихся по прямой . Тогда точки касания и равноудалены от прямой , причем основания перпендикуляров, проведенных из точек и к прямой , совпадают (рисунок 6).

Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и , а луч — биссектриса этого линейного угла. Из указанных свойств следует, что если известна одна из точек или касания сферы с плоскостями или и линейный угол, то можно найти радиус сферы.

Пример 3. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 3, точка принадлежит ребру , , – высота боковой грани . Сфера касается плоскостей и , причем точки касания лежат соответственно на прямых и . Найти радиус сферы.

Решение. Продолжим до пересечения с прямой в некоторой точке . Через и обозначим точки касания сферы с плоскостями и , а через — общее основание перпендикуляров, опущенных из и на прямую . По условию точка лежит на прямой , а — на прямой (рисунок 7).

Из прямоугольных треугольников и находим

Так как , то и — середина . Но тогда по теореме Фалеса

Пусть — центр сферы и — величина линейного угла между плоскостями и . Понятно, что , причем точка лежит на биссектрисе угла . Следовательно, . Остается вычислить линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре .